Determine se as funções
dadas são contínuas em seus respectivos domínios. Justifique suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a função
é contínua em seu domínio. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e analisar cada parte dessa função para ver se ela mantém essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua se não tem “quebras”, “saltos” ou “buracos” no seu gráfico. Em termos mais técnicos, para toda sequência que se aproxima de um ponto, o limite da função nessa sequência também se aproxima do valor da função naquele ponto.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada termo da função
separadamente para ver se eles são contínuos.
Passo 4
O primeiro termo é
. Sabemos que a função exponencial
é contínua para todo valor de
. Além disso, multiplicar uma função contínua por
(que também é uma função contínua) mantém a continuidade. Portanto,
é contínua em todo o domínio.
Passo 5
O segundo termo é
. A função seno
é contínua para todo
. Aqui,
, que é o produto de duas funções contínuas (
e
). Como a composição de funções contínuas é contínua,
também é contínua em todo o domínio.
Passo 6
O terceiro termo é
. Funções polinomiais, como
, são contínuas para todos os valores de
e
. Isso porque potências de funções contínuas continuam sendo contínuas.
Passo 7
Como cada um dos termos que compõem a função
são contínuos em todo o domínio, a soma deles também será contínua. Portanto, a função
é contínua em todo o seu domínio.
Resposta
A função
é contínua em todo o seu domínio.