Determine se as funções f dadas são contínuas em seus respectivos domínios. Justifique suas respostas.
f(x, y) = y * e^(x) + sen(x * y) + (x * y)^(4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a função é contínua em seu domínio. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e analisar cada parte dessa função para ver se ela mantém essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua se não tem “quebras”, “saltos” ou “buracos” no seu gráfico. Em termos mais técnicos, para toda sequência que se aproxima de um ponto, o limite da função nessa sequência também se aproxima do valor da função naquele ponto.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada termo da função separadamente para ver se eles são contínuos.

Passo 4

O primeiro termo é . Sabemos que a função exponencial é contínua para todo valor de . Além disso, multiplicar uma função contínua por (que também é uma função contínua) mantém a continuidade. Portanto, é contínua em todo o domínio.

Passo 5

O segundo termo é . A função seno é contínua para todo . Aqui, , que é o produto de duas funções contínuas ( e ). Como a composição de funções contínuas é contínua, também é contínua em todo o domínio.

Passo 6

O terceiro termo é . Funções polinomiais, como , são contínuas para todos os valores de e . Isso porque potências de funções contínuas continuam sendo contínuas.

Passo 7

Como cada um dos termos que compõem a função são contínuos em todo o domínio, a soma deles também será contínua. Portanto, a função é contínua em todo o seu domínio.

Resposta

A função é contínua em todo o seu domínio.

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