Determine as curvas de nível para as funções
dadas. Represente no plano cartesiano.
Passo 1
Fala aí! Então, a gente tem que determinar as curvas de nível para a função
. Curvas de nível são aquelas curvas no plano que mostram todos os pontos onde a função tem o mesmo valor. Vamos precisar entender o que são curvas de nível e como representá-las no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma curva de nível é obtida fixando o valor da função. Ou seja, escolhemos um valor constante
e resolvemos a equação
. Para nossa função, isso fica assim:
Passo 3
Agora, vamos isolar
na equação:
Isso mostra que, para cada valor de
, a curva de nível será uma hipérbole que depende de
.
Passo 4
Vamos considerar alguns valores de
para visualizar melhor:
- Se
, a hipérbole estará no primeiro e terceiro quadrantes. - Se
, estará no segundo e quarto quadrantes. - Se
, a curva de nível é simplesmente o eixo .
Passo 5
Para representar no plano cartesiano, desenhamos essas hipérboles para diferentes valores de
. Quanto maior o valor absoluto de
, mais próximas do eixo
estarão as hipérboles.
Resposta
As curvas de nível para a função
são hipérboles definidas por
, onde
é uma constante. No plano cartesiano, essas curvas variam conforme o valor de
, posicionando-se nos diferentes quadrantes dependendo se
é positivo ou negativo.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico e determine a imagem e a forma canônica de cada uma das seguintes funções quadráticas, explicitando:
- eixo de simetria;
- coordenadas do vértice;
- intersecção com o eixo
e - intersecções com o eixo
, se houverem.
f)
Determine as curvas de nível para as funções
dadas. Represente no plano cartesiano.
Determine se as funções
dadas são contínuas em seus respectivos domínios. Justifique suas respostas.
Determine a área da região
, onde:
b) R é a região limitada pela parábola e pelo eixo
.
b) R é a região limitada pela parábola