Determine as curvas de nível para as funções dadas. Represente no plano cartesiano.

Passo 1

Fala aí! Então, a gente tem que determinar as curvas de nível para a função . Curvas de nível são aquelas curvas no plano que mostram todos os pontos onde a função tem o mesmo valor. Vamos precisar entender o que são curvas de nível e como representá-las no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma curva de nível é obtida fixando o valor da função. Ou seja, escolhemos um valor constante e resolvemos a equação . Para nossa função, isso fica assim:

Passo 3

Agora, vamos isolar na equação:
Isso mostra que, para cada valor de , a curva de nível será uma hipérbole que depende de .

Passo 4

Vamos considerar alguns valores de para visualizar melhor:
  • Se , a hipérbole estará no primeiro e terceiro quadrantes.
  • Se , estará no segundo e quarto quadrantes.
  • Se , a curva de nível é simplesmente o eixo .

Passo 5

Para representar no plano cartesiano, desenhamos essas hipérboles para diferentes valores de . Quanto maior o valor absoluto de , mais próximas do eixo estarão as hipérboles.

Resposta

As curvas de nível para a função são hipérboles definidas por , onde é uma constante. No plano cartesiano, essas curvas variam conforme o valor de , posicionando-se nos diferentes quadrantes dependendo se é positivo ou negativo.

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico e determine a imagem e a forma canônica de cada uma das seguintes funções quadráticas, explicitando:
  • eixo de simetria;
  • coordenadas do vértice;
  • intersecção com o eixo e
  • intersecções com o eixo , se houverem.
    f)
Determine as curvas de nível para as funções dadas. Represente no plano cartesiano.
Determine se as funções dadas são contínuas em seus respectivos domínios. Justifique suas respostas.
Determine a área da região , onde:
b) R é a região limitada pela parábola e pelo eixo .