Em estatística a função E(x)=2raizpi integral0^x e^-t^2 d t recebe o nome de Função Erro. Encontre a Série de Maclaurin da função E(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Série de Maclaurin da Função Erro, que é dada por . Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e integração de séries. Vamos passo a passo para entender tudo direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Série de Maclaurin. É uma série de potências que representa uma função em torno de f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)2!x^2 + f'''(0)3!x^3 + dots . Ela tem a forma:
No nosso caso, queremos expandir a função em uma série de potências centrada em 0.

Passo 3

Vamos começar expandindo a função dentro da integral, que é e^z = sumn=0^infty z^nn! . Sabemos que a expansão em série de e^-t^2 = sumn=0^infty (-1)^n t^2nn! é:
Substituindo por , temos:

Passo 4

Agora, vamos substituir essa série na integral que define E(x) = 2raizpi integral0^x ( sumn=0^infty (-1)^n t^2nn! ) dt :
E(x) = 2raizpi sumn=0^infty (-1)^nn! integral0^x t^2n , dt
Como a série converge para todos os valores de , podemos trocar a ordem da soma e da integração:

Passo 5

Vamos resolver a integral integral0^x t^2n , dt = [ t^2n+12n+1 ]0^x = x^2n+12n+1 . A antiderivada de é , então:

Passo 6

Substituindo o resultado da integral na expressão de E(x) = 2raizpi sumn=0^infty (-1)^nn! cdot x^2n+12n+1 = 2raizpi sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1n! (2n+1) :

Resposta

A Série de Maclaurin da Função Erro E(x) = 2raizpi sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1n! , (2n + 1) é:

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