Em estatística a função recebe o nome de Função Erro. Encontre a Série de Maclaurin da função .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Série de Maclaurin da Função Erro, que é dada por . Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e integração de séries. Vamos passo a passo para entender tudo direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Série de Maclaurin. É uma série de potências que representa uma função em torno de . Ela tem a forma:
No nosso caso, queremos expandir a função em uma série de potências centrada em 0.

Passo 3

Vamos começar expandindo a função dentro da integral, que é . Sabemos que a expansão em série de é:
Substituindo por , temos:

Passo 4

Agora, vamos substituir essa série na integral que define :
Como a série converge para todos os valores de , podemos trocar a ordem da soma e da integração:

Passo 5

Vamos resolver a integral . A antiderivada de é , então:

Passo 6

Substituindo o resultado da integral na expressão de :

Resposta

A Série de Maclaurin da Função Erro é:

Exercícios relacionados

Determine a área da região , onde:
c) R é a região limitada pelas parábolas e .
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Verifique se as integrais impróprias convergem ou divergem:
a)
Encontre uma série de potências de para representar a função e, usando o resultado, conclua que .