Verifique se as integrais impróprias convergem ou divergem:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a integral imprópria
converge ou diverge. Isso está ligado ao estudo de integrais que vão até o infinito, usando conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Nesse caso, a integral vai de 0 até o infinito, o que a torna imprópria porque o limite superior é infinito. Para avaliar isso, a gente reescreve a integral com um limite:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral definida
. A função
é uma função exponencial decrescente, que tende a zero conforme
aumenta. A antiderivada de
é
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Sabemos que
tende a zero quando
vai para o infinito, então:
Resposta
A integral imprópria
converge e o valor da integral é 1.
Exercícios relacionados
Em estatística a função
recebe o nome de Função Erro. Encontre a Série de Maclaurin da função
.
Determine a área da região
, onde:
c) R é a região limitada pelas parábolas e
.
c) R é a região limitada pelas parábolas
Encontre uma série de potências de
para representar a função
e, usando o resultado, conclua que
.
Uma maneira de obtermos um valor aproximado de
, para um dado valor de
no intervalo
, é usando a série binomial. Neste caso temos
, de modo que
e, dependendo da situação, podemos considerar apenas os dois ou os três primeiros termos da série para a aproximação. Considerando
e aproximando a série por seus três primeiros termos, encontramos: