Verifique se as integrais impróprias convergem ou divergem:
a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a integral imprópria converge ou diverge. Isso está ligado ao estudo de integrais que vão até o infinito, usando conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Nesse caso, a integral vai de 0 até o infinito, o que a torna imprópria porque o limite superior é infinito. Para avaliar isso, a gente reescreve a integral com um limite:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral definida . A função é uma função exponencial decrescente, que tende a zero conforme aumenta. A antiderivada de é , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Sabemos que tende a zero quando vai para o infinito, então:

Resposta

A integral imprópria converge e o valor da integral é 1.

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