Verifique se as integrais impróprias convergem ou divergem:
a) integral0^+infty e^-x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a integral imprópria integral0^+infty e^-x , dx converge ou diverge. Isso está ligado ao estudo de integrais que vão até o infinito, usando conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Nesse caso, a integral vai de 0 até o infinito, o que a torna imprópria porque o limite superior é infinito. Para avaliar isso, a gente reescreve a integral com um limite:
integral0^+infty e^-x , dx = limb to +infty integral0^b e^-x , dx

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral definida integral0^b e^-x , dx. A função e^-x é uma função exponencial decrescente, que tende a zero conforme x aumenta. A antiderivada de e^-x é -e^-x, então:
integral0^b e^-x , dx = [-e^-x]0^b = -e^-b - (-e^0) = -e^-b + 1 = 1 - e^-b

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando b tende ao infinito:
limb to +infty (1 - e^-b)
Sabemos que e^-b tende a zero quando b vai para o infinito, então:
1 - 0 = 1

Resposta

A integral imprópria integral0^+infty e^-x , dx converge e o valor da integral é 1.

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