Determine a área da região R do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
§ x^2 y = x^2 - 4, x = 2, x = 4 e y = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área da região no plano que é limitada pelas curvas , pelas retas , e pela reta . Aqui, vamos usar um pouco de cálculo, mais especificamente integração, pra achar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma simplificada na equação . Queremos isolar o :
Agora, nossa função fica .

Passo 3

Vamos identificar os limites de integração. As retas verticais e nos dão os limites de . E a reta é o eixo , que vai nos ajudar a entender até onde a região se estende verticalmente.

Passo 4

Para achar a área da região , vamos integrar a função de até . A fórmula da área será:

Passo 5

Vamos resolver essa integral passo a passo.
Primeiro, separamos a integral:
Calculando cada parte:
Agora, substituímos de volta na fórmula da área:

Resposta

A área da região é igual a unidade quadrada.

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