Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(k)
e
.
(k)
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo de área no plano. Precisamos determinar a área da região
limitada pelas curvas
,
(que é o eixo
) e
. Para isso, vamos usar o conceito de integrais definidas, que nos permite calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
-
: é a função logarítmica natural. -
: é o eixo . -
: é uma linha vertical no ponto , onde .
Passo 3
Para encontrar a área entre essas curvas, queremos calcular a integral da função
em relação a
no intervalo onde essas curvas se intersectam. Observando que
, a região de interesse vai de
a
.
Passo 4
A fórmula para calcular a área
é:
Aqui, estamos integrando
de
até
.
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração:
Calculando em
:
Calculando em
:
Passo 7
Subtraindo os valores obtidos:
Resposta
A área da região
é igual a
unidade quadrada.
Exercícios relacionados
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(f) e
.
(f)
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(a) e o eixo
.
(a)
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
§ e
.
§
Nos itens a seguir expresse a área das regiões limitadas pelas curvas dadas. Faça isso de duas maneiras, com integrações na variável
e com integrações na variável
. Escolha uma das maneiras e calcule a área.
(a) e
.
(a)