Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(k) e .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de área no plano. Precisamos determinar a área da região limitada pelas curvas , (que é o eixo ) e . Para isso, vamos usar o conceito de integrais definidas, que nos permite calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
  • : é a função logarítmica natural.
  • : é o eixo .
  • : é uma linha vertical no ponto , onde .

Passo 3

Para encontrar a área entre essas curvas, queremos calcular a integral da função em relação a no intervalo onde essas curvas se intersectam. Observando que , a região de interesse vai de a .

Passo 4

A fórmula para calcular a área é:
Aqui, estamos integrando de até .

Passo 5

Vamos resolver a integral:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração:
Calculando em :
Calculando em :

Passo 7

Subtraindo os valores obtidos:

Resposta

A área da região é igual a unidade quadrada.

Exercícios relacionados

Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(f) e .
Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(a) e o eixo .
Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
§ e .
Nos itens a seguir expresse a área das regiões limitadas pelas curvas dadas. Faça isso de duas maneiras, com integrações na variável e com integrações na variável . Escolha uma das maneiras e calcule a área.
(a) e .