Nos itens a seguir expresse a área das regiões limitadas pelas curvas dadas. Faça isso de duas maneiras, com integrações na variável e com integrações na variável . Escolha uma das maneiras e calcule a área.
(a) e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a área das regiões limitadas pelas curvas , e . Esse tipo de problema envolve cálculo integral, especificamente integrando em relação a ou . A gente precisa saber como determinar os pontos onde as curvas se encontram e montar as integrais para calcular a área. Vamos escolher integrar em relação a para facilitar!

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as curvas se interceptam. Isso vai nos dar os limites de integração. Temos três curvas:
  1. (o eixo ),
  2. ,
  3. .
Vamos encontrar os pontos de interseção entre elas.

Passo 3

Vamos resolver duas equações de cada vez:
  • Interseção de e :
    Então, o ponto é .
  • Interseção de e :
    Então, o ponto é .
  • Interseção de e :
    Substituindo em :
    Então, o ponto é .

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção, vamos desenhar rapidamente para entender a região que queremos calcular. A área está entre e , e entre as curvas e .
Para integrar em relação a , precisamos identificar qual função está por cima e qual está por baixo no intervalo de integração.
Entre e , a curva está acima de .
Entre e , a curva está acima de (que é ).
Então, a área total será a soma de duas integrais:
  1. De a , subtraindo de .
  2. De a , subtraindo de .

Passo 5

Vamos montar as integrais:
Á
Simplificando as expressões dentro das integrais:
Á

Passo 6

Vamos calcular cada integral separadamente.
  1. Primeira Integral:
  1. Segunda Integral:

Resposta

Somando as duas áreas:
Á
Então, a área das regiões limitadas pelas curvas , e é 15,625 unidades quadradas.

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Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
§ e .
Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(k) e .
Encontrar a função tal que:
(b) e
A equação da reta tangente a uma curva no ponto é . Sabendo que em um ponto qualquer da curva ( constante), encontrar a equação dessa curva.