Nos itens a seguir expresse a área das regiões limitadas pelas curvas dadas. Faça isso de duas maneiras, com integrações na variável
e com integrações na variável
. Escolha uma das maneiras e calcule a área.
(a)
e
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a área das regiões limitadas pelas curvas
,
e
. Esse tipo de problema envolve cálculo integral, especificamente integrando em relação a
ou
. A gente precisa saber como determinar os pontos onde as curvas se encontram e montar as integrais para calcular a área. Vamos escolher integrar em relação a
para facilitar!
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as curvas se interceptam. Isso vai nos dar os limites de integração. Temos três curvas:
-
(o eixo ), -
, -
.
Vamos encontrar os pontos de interseção entre elas.
Passo 3
Vamos resolver duas equações de cada vez:
-
Interseção de
e : Então, o ponto é. -
Interseção de
e : Então, o ponto é. -
Interseção de
e : Substituindo em: Então, o ponto é.
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção, vamos desenhar rapidamente para entender a região que queremos calcular. A área está entre
e
, e entre as curvas
e
.
Para integrar em relação a
, precisamos identificar qual função está por cima e qual está por baixo no intervalo de integração.
Entre
e
, a curva
está acima de
.
Entre
e
, a curva
está acima de
(que é
).
Então, a área total será a soma de duas integrais:
- De
a , subtraindo de . - De
a , subtraindo de .
Passo 5
Vamos montar as integrais:
Simplificando as expressões dentro das integrais:
Passo 6
Vamos calcular cada integral separadamente.
- Primeira Integral:
- Segunda Integral:
Resposta
Somando as duas áreas:
Então, a área das regiões limitadas pelas curvas
,
e
é 15,625 unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
§ e
.
§
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(k) e
.
(k)
Encontrar a função
tal que:
(b) e
(b)
A equação da reta tangente a uma curva no ponto
é
. Sabendo que em um ponto
qualquer da curva
(
constante), encontrar a equação dessa curva.