Esboce a região de integração e mude a ordem de integração de
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos:
- Esboçar a região de integração: Isso significa desenhar no plano
a área onde as variáveis e variam conforme os limites dados. - Mudar a ordem de integração: Atualmente, a integral está com
variando primeiro e depois . Vamos reorganizar para variar primeiro e depois .
Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração e como eles definem a região no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites da integral original:
Aqui:
-
varia de 0 a 1. - Para cada valor de
, varia de 0 até .
Isso significa que, no plano
, estamos considerando todos os pontos onde
e
.
Passo 3
Vamos esboçar essa região:
- Desenhe os eixos
e . - Marque os pontos onde
e . - A condição
representa a região abaixo da linha reta .
Assim, a região de integração é o triângulo delimitado pelos pontos
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos mudar a ordem de integração. Queremos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Para isso, precisamos reescrever os limites:
-
vai de 0 a 1. - Para cada
, varia de até 1.
Isso porque, fixando um valor de
,
começa no valor de
(para ficar acima da linha
) e vai até 1.
Passo 5
Assim, a integral com a ordem de integração invertida fica:
Resposta
A região de integração é o triângulo no plano
limitado por
e
. Mudando a ordem de integração, a integral fica: