Esboce a região de integração e mude a ordem de integração de integral0^1 integral0^x f(x, y) d y d x.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos:
  1. Esboçar a região de integração: Isso significa desenhar no plano a área onde as variáveis e variam conforme os limites dados.
  2. Mudar a ordem de integração: Atualmente, a integral está com variando primeiro e depois . Vamos reorganizar para variar primeiro e depois .
Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração e como eles definem a região no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites da integral original:
integral0^1 integral0^x f(x, y) , dy , dx
Aqui:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada valor de , varia de 0 até .
Isso significa que, no plano , estamos considerando todos os pontos onde e .

Passo 3

Vamos esboçar essa região:
  1. Desenhe os eixos e .
  2. Marque os pontos onde e .
  3. A condição representa a região abaixo da linha reta .
Assim, a região de integração é o triângulo delimitado pelos pontos , e .

Passo 4

Agora, vamos mudar a ordem de integração. Queremos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Para isso, precisamos reescrever os limites:
  • vai de 0 a 1.
  • Para cada , varia de até 1.
Isso porque, fixando um valor de , começa no valor de (para ficar acima da linha ) e vai até 1.

Passo 5

Assim, a integral com a ordem de integração invertida fica:
integral0^1 integraly^1 f(x, y) , dx , dy

Resposta

A região de integração é o triângulo no plano integral0^1 integraly^1 f(x, y) , dx , dy limitado por e . Mudando a ordem de integração, a integral fica:

Exercícios relacionados