7.)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema que temos aqui: queremos saber se a série infinita
converge, ou seja, se ela soma a um número finito. Vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série infinita. Uma série assim é basicamente a soma de termos que continuam para sempre. Para saber se essa soma é finita, usamos alguns testes de convergência. Um dos testes que vamos usar aqui é o Teste da Comparação.
Passo 3
O Teste da Comparação funciona assim: se a série que a gente quer analisar tem termos menores ou iguais a outra série que sabemos que converge, então a nossa série também converge.
No nosso caso, temos
. Sabemos que
sempre está entre 0 e 1, ou seja,
.
Passo 4
Então, podemos estimar nossos termos assim:
Agora, vamos olhar para a série
.
Passo 5
A série
é conhecida como uma série p, onde
. Sabemos que uma série p converge se
. Aqui,
, então essa série converge.
Passo 6
Como cada termo da nossa série original
é menor ou igual ao termo correspondente da série p que já sabemos que converge, pelo Teste da Comparação, nossa série também converge.
Resposta
A série
converge.