7.) sumn=1^infty cos ^2 nn^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema que temos aqui: queremos saber se a série infinita converge, ou seja, se ela soma a um número finito. Vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série infinita. Uma série assim é basicamente a soma de termos que continuam para sempre. Para saber se essa soma é finita, usamos alguns testes de convergência. Um dos testes que vamos usar aqui é o Teste da Comparação.

Passo 3

O Teste da Comparação funciona assim: se a série que a gente quer analisar tem termos menores ou iguais a outra série que sabemos que converge, então a nossa série também converge.
No nosso caso, temos . Sabemos que sempre está entre 0 e 1, ou seja, .

Passo 4

Então, podemos estimar nossos termos assim:
0 <= cos^2 nn^3/2 <= 1n^3/2
Agora, vamos olhar para a série .

Passo 5

A série é conhecida como uma série p, onde . Sabemos que uma série p converge se . Aqui, , então essa série converge.

Passo 6

Como cada termo da nossa série original é menor ou igual ao termo correspondente da série p que já sabemos que converge, pelo Teste da Comparação, nossa série também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados