Determine, caso exista, a interseção entre as retas dadas. Caso as retas se interceptem, determine a equação geral e equações paramétricas do plano que contém estas retas.
((d) e Resp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se duas retas no espaço se cruzam. Se elas se interceptarem, também precisamos achar a equação geral e as equações paramétricas do plano que contém essas retas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de retas e planos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações das retas que nos foram dadas:
Para a reta :
Essa é a forma simétrica da equação da reta. Podemos transformá-la em equações paramétricas definindo um parâmetro, digamos :
Para a reta :
Aqui, já estão dadas as equações paramétricas com o parâmetro .
Passo 3
Agora, para verificar se as retas se interceptam, precisamos encontrar valores de e que façam com que as coordenadas sejam iguais para ambas as retas. Ou seja, resolveremos o sistema:
Passo 4
Vamos resolver a primeira equação para :
Agora, substituímos na segunda equação:
Passo 5
Com , encontramos usando :
Passo 6
Agora, substituímos na equação da reta para encontrar o ponto de interseção:
Portanto, o ponto de interseção é .
Passo 7
Como as retas se interceptam, podemos encontrar a equação do plano que as contém. Sabemos que duas retas determinam um plano, e para encontrar a equação geral do plano, precisamos de um ponto do plano e de um vetor normal a ele.
Primeiro, encontramos dois vetores diretores das retas e :
O vetor normal ao plano é o produto vetorial de e :
Passo 8
Com o vetor normal e o ponto de interseção , a equação geral do plano é:
Simplificando:
As equações paramétricas do plano podem ser escritas usando um ponto no plano e dois vetores diretores. Usando o ponto e os vetores e , temos: