Determine, caso exista, a interseção entre as retas dadas. Caso as retas se interceptem, determine a equação geral e equações paramétricas do plano que contém estas retas.
((d) e Resp: (1,2,-2)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se duas retas no espaço se cruzam. Se elas se interceptarem, também precisamos achar a equação geral e as equações paramétricas do plano que contém essas retas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de retas e planos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações das retas que nos foram dadas:
Para a reta x - 32 = y + 1-3 = z - 24 :
x = 3 + 2lambda y = -1 - 3lambda z = 2 + 4lambda
Essa é a forma simétrica da equação da reta. Podemos transformá-la em equações paramétricas definindo um parâmetro, digamos x = -1 + t y = 4 - t z = -8 + 3t :
Para a reta :
Aqui, já estão dadas as equações paramétricas com o parâmetro .
Passo 3
Agora, para verificar se as retas se interceptam, precisamos encontrar valores de 3 + 2lambda = -1 + t -1 - 3lambda = 4 - t 2 + 4lambda = -8 + 3t e que façam com que as coordenadas sejam iguais para ambas as retas. Ou seja, resolveremos o sistema:
Passo 4
Vamos resolver a primeira equação para 3 + 2lambda = -1 + t Rightarrow t = 4 + 2lambda :
Com t = 4 + 2(-1) = 4 - 2 = 2 , encontramos usando :
Passo 6
Agora, substituímos x = 3 + 2(-1) = 1 y = -1 - 3(-1) = 2 z = 2 + 4(-1) = -2 na equação da reta para encontrar o ponto de interseção:
Portanto, o ponto de interseção é .
Passo 7
Como as retas se interceptam, podemos encontrar a equação do plano que as contém. Sabemos que duas retas determinam um plano, e para encontrar a equação geral do plano, precisamos de um ponto do plano e de um vetor normal a ele.
Primeiro, encontramos dois vetores diretores das retas u = 2 -3 4 (para a reta r) v = 1 -1 3 (para a reta s) e n = u times v = i & j & k 2 & -3 & 4 1 & -1 & 3 = i( (-3)(3) - (4)(-1) ) - j( (2)(3) - (4)(1) ) + k( (2)(-1) - (-3)(1) ) :
n = i(-9 + 4) - j(6 - 4) + k(-2 + 3) n = -5 -2 1
O vetor normal ao plano é o produto vetorial de e :
Passo 8
Com o vetor normal -5(x - 1) - 2(y - 2) + 1(z + 2) = 0 e o ponto de interseção -5x + 5 - 2y + 4 + z + 2 = 0 -5x - 2y + z + 11 = 0 , a equação geral do plano é:
x = 1 + 2lambda + t y = 2 - 3lambda - t z = -2 + 4lambda + 3t
Simplificando:
As equações paramétricas do plano podem ser escritas usando um ponto no plano e dois vetores diretores. Usando o ponto e os vetores e , temos: