Determine a área da superfície cujo domínio no plano é o disco de raio 2 centrado na origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a área da superfície definida pela equação . O domínio dessa superfície no plano é um disco de raio 2, centrado na origem. Vamos precisar usar cálculo de integrais duplas e transformar para coordenadas polares para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a área de uma superfície sobre uma região no plano é dada pela integral dupla:
No nosso caso, . Vamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula da área:
Passo 3
Como a região é um disco de raio 2, fica mais fácil converter as coordenadas para polares. Lembrando que em coordenadas polares:
E a área diferencial em polares é . Reescrevendo a integral:
Passo 4
Vamos resolver a integral em primeiro. Faça a substituição , então ou . Os limites de vão de até .