Determine a área da superfície z=x^2+y^2 cujo domínio no plano x y é o disco de raio 2 centrado na origem.
& pi6(17 raiz17-1) & pi6(37 raiz37-1) & pi6(65 raiz65-1) & pi6(5 raiz5-1) & pi6(126 raiz126-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a área da superfície definida pela equação . O domínio dessa superfície no plano é um disco de raio 2, centrado na origem. Vamos precisar usar cálculo de integrais duplas e transformar para coordenadas polares para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área de uma superfície integral duplaD raiz1 + ( partial fpartial x )^2 + ( partial fpartial y )^2 , dx , dy sobre uma região partial fpartial x = 2x e partial fpartial y = 2y no plano Área = integral duplaD raiz1 + (2x)^2 + (2y)^2 , dx , dy = integral duplaD raiz1 + 4x^2 + 4y^2 , dx , dy é dada pela integral dupla:
No nosso caso, . Vamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula da área:
Á

Passo 3

Como a região x = r cos theta e y = r sin theta é um disco de raio 2, fica mais fácil converter as coordenadas para polares. Lembrando que em coordenadas polares:
Área = integral0^2pi integral0^2 raiz1 + 4r^2 cdot r , dr , dtheta
E a área diferencial em polares é . Reescrevendo a integral:
Á

Passo 4

Vamos resolver a integral em integral0^2 r raiz1 + 4r^2 , dr = 18 integral1^17 raizu , du = 18 cdot 23 ( u^3/2 ) gr|1^17 = 112 ( 17 raiz17 - 1 ) primeiro. Faça a substituição , então ou . Os limites de vão de até .
A integral fica:

Passo 5

Agora, integramos em Área = integral0^2pi 112 ( 17 raiz17 - 1 ) , dtheta = 112 ( 17 raiz17 - 1 ) cdot 2pi = pi6 ( 17 raiz17 - 1 ) :
Á

Resposta

pi6 ( 17 raiz17 - 1 )

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