Determine a área da superfície parametrizada por r(u, v) = (u, v, 10), cujo domínio no plano u v é o triângulo com vétices (0,0), (1,0) e (0,1).
1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos calcular a área da superfície dada pela parametrização , onde (u, v) está dentro de um triângulo com vértices em (0,0), 1,0 e 0,1. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a fórmula para encontrar a área de superfícies parametrizadas.

Passo 2

Para encontrar a área da superfície, precisamos calcular os vetores tangentes em relação a u e v. Esses vetores são obtidos pelas derivadas parciais da função :

Passo 3

Em seguida, calculamos o produto vetorial desses vetores tangentes para obter um vetor normal à superfície:

Passo 4

O módulo desse vetor normal nos dá a área do elemento de superfície:

Passo 5

Agora, para encontrar a área total da superfície, integramos o elemento de área sobre o domínio do triângulo. No entanto, como a superfície é plana e está a uma altura constante ( ), a área da superfície é igual à área do triângulo no plano .
A área de um triângulo com vértices em (0,0), 1,0 e 0,1 é:

Resposta

A área da superfície é 1/2.

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