Determine a área da superfície parametrizada por , cujo domínio no plano é o triângulo com vétices .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos calcular a área da superfície dada pela parametrização , onde está dentro de um triângulo com vértices em , e . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a fórmula para encontrar a área de superfícies parametrizadas.
Passo 2
Para encontrar a área da superfície, precisamos calcular os vetores tangentes em relação a e . Esses vetores são obtidos pelas derivadas parciais da função :
Passo 3
Em seguida, calculamos o produto vetorial desses vetores tangentes para obter um vetor normal à superfície:
Passo 4
O módulo desse vetor normal nos dá a área do elemento de superfície:
Passo 5
Agora, para encontrar a área total da superfície, integramos o elemento de área sobre o domínio do triângulo. No entanto, como a superfície é plana e está a uma altura constante (), a área da superfície é igual à área do triângulo no plano .
A área de um triângulo com vértices em (0,0), 1,0 e 0,1 é: