Determine a área da superfície:
Encontre a área da elipse cortada do plano z = c x ( c é uma constante) pelo cilindro x^2 + y^2 = 1 Resp: pi * raiz(1 + c^2)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar a área da superfície de uma elipse que é formada pela interseção do plano com o cilindro . Aqui, é uma constante. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre interseções de superfícies e cálculo de áreas de figuras como a elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as duas equações:
  1. é um plano que inclina em relação ao eixo , dependendo do valor de .
  2. é um cilindro circular de raio 1, alinhado ao longo do eixo .
A interseção dessas duas superfícies será uma curva no espaço tridimensional. Nosso objetivo é encontrar a área dessa curva, que na verdade é uma elipse.

Passo 3

Para encontrar a área da elipse formada pela interseção, precisamos parametrizar essa curva. Vamos expressar em termos de e usando a equação do plano, e então relacionar com a equação do cilindro.
Sabemos que . Substituindo isso na equação do cilindro, temos:
Como depende apenas de , podemos considerar como uma variável independente e expressar em termos de .

Passo 4

Para parametrizar a curva, podemos usar coordenadas polares. Vamos definir:
onde varia de a . Assim, a equação do plano fica:
Então, a parametrização da curva de interseção é:

Passo 5

Agora, para encontrar a área da superfície dessa curva, notamos que, na verdade, estamos lidando com uma elipse no espaço. A área de uma elipse é dada por:
onde é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.

Passo 6

Vamos identificar os semi-eixos da nossa elipse. Observando a parametrização:
  • Quando ou , , e .
  • Quando ou , , e .
Isso mostra que os semi-eixos são:

Passo 7

Substituindo e na fórmula da área da elipse:

Resposta

A área da superfície da elipse é .

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