Determine a área da superfície:
Encontre a área da elipse cortada do plano
(
é uma constante) pelo cilindro
Resp:
Encontre a área da elipse cortada do plano
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar a área da superfície de uma elipse que é formada pela interseção do plano
com o cilindro
. Aqui,
é uma constante. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre interseções de superfícies e cálculo de áreas de figuras como a elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as duas equações:
-
é um plano que inclina em relação ao eixo , dependendo do valor de . -
é um cilindro circular de raio 1, alinhado ao longo do eixo .
A interseção dessas duas superfícies será uma curva no espaço tridimensional. Nosso objetivo é encontrar a área dessa curva, que na verdade é uma elipse.
Passo 3
Para encontrar a área da elipse formada pela interseção, precisamos parametrizar essa curva. Vamos expressar
em termos de
e
usando a equação do plano, e então relacionar com a equação do cilindro.
Sabemos que
. Substituindo isso na equação do cilindro, temos:
Como
depende apenas de
, podemos considerar
como uma variável independente e expressar
em termos de
.
Passo 4
Para parametrizar a curva, podemos usar coordenadas polares. Vamos definir:
onde
varia de
a
. Assim, a equação do plano fica:
Então, a parametrização da curva de interseção é:
Passo 5
Agora, para encontrar a área da superfície dessa curva, notamos que, na verdade, estamos lidando com uma elipse no espaço. A área de uma elipse é dada por:
onde
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor.
Passo 6
Vamos identificar os semi-eixos da nossa elipse. Observando a parametrização:
- Quando
ou , , e . - Quando
ou , , e .
Isso mostra que os semi-eixos são:
Passo 7
Substituindo
e
na fórmula da área da elipse:
Resposta
A área da superfície da elipse é
.