Determine a área da superfície.
c) A superfície com equações paramétricas x = u^2, y = u * v, z = 1/2 * v^2, 0 <= u <= 1, 0 <= v <= 2.4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar a área da superfície definida pelas equações paramétricas:
com os parâmetros e .
Aqui, vamos usar conceitos de Cálculo Multivariável, especificamente a fórmula para calcular a área de uma superfície parametrizada.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície dada por funções paramétricas , , e . A área é dada por:
onde e é a região dos parâmetros e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais da posição vetorial em relação a e .
Primeiro, a posição vetorial é:
Agora, calculamos :
E :

Passo 4

Agora, precisamos calcular o produto vetorial dessas duas derivadas:
Vamos calcular o determinante:

Passo 5

Agora, calculamos a norma desse vetor para usar na fórmula da área:

Passo 6

Agora, configuramos a integral dupla para a área:

Passo 7

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Portanto:

Passo 8

Agora, a integral para a área fica mais simples:

Passo 9

Primeiro, integramos em relação a :

Passo 10

Agora, integramos em relação a :

Resposta

A área da superfície é 6,208 unidades quadradas.

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