Determine a área da superfície.
c) A superfície com equações paramétricas
,
.
c) A superfície com equações paramétricas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar a área da superfície definida pelas equações paramétricas:
com os parâmetros
e
.
Aqui, vamos usar conceitos de Cálculo Multivariável, especificamente a fórmula para calcular a área de uma superfície parametrizada.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície dada por funções paramétricas
,
, e
. A área
é dada por:
onde
e
é a região dos parâmetros
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais da posição vetorial
em relação a
e
.
Primeiro, a posição vetorial é:
Agora, calculamos
:
E
:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o produto vetorial dessas duas derivadas:
Vamos calcular o determinante:
Passo 5
Agora, calculamos a norma desse vetor para usar na fórmula da área:
Passo 6
Agora, configuramos a integral dupla para a área:
Passo 7
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Portanto:
Passo 8
Agora, a integral para a área fica mais simples:
Passo 9
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 10
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A área da superfície é 6,208 unidades quadradas.