Determine a área da superfície.
c) A superfície com equações paramétricas x = u^2, y = u * v, z = 1/2 * v^2, 0 <= u <= 1, 0 <= v <= 2.4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar a área da superfície definida pelas equações paramétricas:
com os parâmetros e .
Aqui, vamos usar conceitos de Cálculo Multivariável, especificamente a fórmula para calcular a área de uma superfície parametrizada.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície dada por funções paramétricas , , e . A área é dada por:
onde e é a região dos parâmetros e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais da posição vetorial em relação a e .
Primeiro, a posição vetorial é:
Agora, calculamos :
E :

Passo 4

Agora, precisamos calcular o produto vetorial dessas duas derivadas:
Vamos calcular o determinante:

Passo 5

Agora, calculamos a norma desse vetor para usar na fórmula da área:

Passo 6

Agora, configuramos a integral dupla para a área:

Passo 7

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Portanto:

Passo 8

Agora, a integral para a área fica mais simples:

Passo 9

Primeiro, integramos em relação a :

Passo 10

Agora, integramos em relação a :

Resposta

A área da superfície é 6,208 unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Determine a área da superfície.
b) O helicoide (ou rampa espiral) com equação vetorial vec{r}(u, v) = u * cos(v) * vec{i} + u * sen(v) * vec{j} + v * vec{k}, 0 <= u <= 1, 0 <= v <= pi * (pi / 2) * (raiz(2) + ln(1 + raiz(2))).
Resolva as seguintes desigualdades:
e) arccotg x > 2
Resolva as equações: y'' - 6y' + 9y = e^(3x) sen(x)
Determine o fluxo de F através de S. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).
c) F(x, y, z) = x i + y j + z k, S é a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 9.108 * pi.