Determine a área da superfície.
b) O helicoide (ou rampa espiral) com equação vetorial , .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos determinar a área da superfície de um helicoide, que é uma espécie de rampa em forma de espiral. A equação vetorial que descreve essa superfície é dada por:
Os parâmetros e estão no intervalo e .
Para resolver isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente a fórmula para a área de uma superfície parametrizada. Precisamos calcular as derivadas parciais da função vetorial, fazer o produto vetorial dessas derivadas e integrar o módulo desse produto sobre a região dada.
Passo 2
Vamos começar calculando as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial dessas duas derivadas parciais, .
Calculando o determinante:
Simplificando:
Sabemos que , então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o módulo desse produto vetorial, que representa a “densidade” da área na superfície.
Novamente, usando a identidade trigonométrica :
Passo 5
Agora que temos o módulo do produto vetorial, podemos configurar a integral dupla que nos dará a área da superfície:
Á
Observamos que a integral em é de uma função constante em relação a , então podemos simplificar a integração.
Passo 6
Vamos primeiro integrar em relação a :
Onde .
Agora, a integral se reduz a:
Á
Essa integral é padrão e pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica ou olhando na tabela de integrais:
Para de 0 a 1:
Passo 7
Finalmente, substituindo de volta na expressão da área: