Determine a área da superfície.
b) O helicoide (ou rampa espiral) com equação vetorial vec{r}(u, v) = u * cos(v) * vec{i} + u * sen(v) * vec{j} + v * vec{k}, 0 <= u <= 1, 0 <= v <= pi * (pi / 2) * (raiz(2) + ln(1 + raiz(2))).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos determinar a área da superfície de um helicoide, que é uma espécie de rampa em forma de espiral. A equação vetorial que descreve essa superfície é dada por:
Os parâmetros e estão no intervalo e .
Para resolver isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente a fórmula para a área de uma superfície parametrizada. Precisamos calcular as derivadas parciais da função vetorial, fazer o produto vetorial dessas derivadas e integrar o módulo desse produto sobre a região dada.

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial dessas duas derivadas parciais, .
Calculando o determinante:
Simplificando:
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o módulo desse produto vetorial, que representa a “densidade” da área na superfície.
Novamente, usando a identidade trigonométrica :

Passo 5

Agora que temos o módulo do produto vetorial, podemos configurar a integral dupla que nos dará a área da superfície:
Á
Observamos que a integral em é de uma função constante em relação a , então podemos simplificar a integração.

Passo 6

Vamos primeiro integrar em relação a :
Onde .
Agora, a integral se reduz a:
Á
Essa integral é padrão e pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica ou olhando na tabela de integrais:
Para de 0 a 1:

Passo 7

Finalmente, substituindo de volta na expressão da área:
Á
Agora, substituímos pelo valor dado:
Assim, a área total é:
Á

Resposta

A área da superfície do helicoide é:
Á

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes desigualdades:
e) arccotg x > 2
Determine a área da superfície.
a) A parte do paraboloide hiperbólico z = y^2 - x^2 que está entre os cilindros x^2 + y^2 = 1 e x^2 + y^2 = 4 * (pi / 6) * (17 * raiz(17) - 5 * raiz(5)).
Determine a área da superfície.
c) A superfície com equações paramétricas x = u^2, y = u * v, z = 1/2 * v^2, 0 <= u <= 1, 0 <= v <= 2.4.
Resolva as equações: y'' - 6y' + 9y = e^(3x) sen(x)