integral0^2 integral0^2(x^3-y^3) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o exercício propôs: . Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas, que são usadas para calcular áreas, volumes ou outras quantidades em regiões bidimensionais. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis e separar a integral em partes mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral de forma mais clara:
integral0^2 ( integral0^2 (x^3 - y^3) , dx ) dy
Aqui, estamos integrando a função em relação a de 0 a 2, e depois o resultado disso será integrado em relação a de 0 a 2.

Passo 3

Vamos começar resolvendo a integral interna, que é a parte de dentro:
integral0^2 (x^3 - y^3) , dx
Nessa integral, tratamos como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral0^2 x^3 , dx - integral0^2 y^3 , dx
A primeira integral é de em relação a , e a segunda é de em relação a .

Passo 5

Calculando a primeira integral:
integral0^2 x^3 , dx = [ x^44 ]0^2 = 2^44 - 0^44 = 164 = 4
Agora, a segunda integral:
integral0^2 y^3 , dx = y^3 integral0^2 , dx = y^3 [ x ]0^2 = y^3 (2 - 0) = 2y^3

Passo 6

Substituindo os resultados das integrais internas de volta na expressão original:
integral0^2 (4 - 2y^3) , dy
Agora, vamos resolver essa integral em relação a .

Passo 7

Vamos separar novamente a integral:
integral0^2 4 , dy - 2 integral0^2 y^3 , dy
Primeiro, a integral de 4 em relação a integral0^2 4 , dy = 4 [ y ]0^2 = 4(2 - 0) = 8 :
2 integral0^2 y^3 , dy = 2 [ y^44 ]0^2 = 2 ( 164 - 0 ) = 2 times 4 = 8
Agora, a segunda integral:

Passo 8

Subtraindo os resultados das duas integrais:
8 - 8 = 0

Resposta

O valor da integral dupla é .

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