Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o exercício propôs:
. Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas, que são usadas para calcular áreas, volumes ou outras quantidades em regiões bidimensionais. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis e separar a integral em partes mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral de forma mais clara:
Aqui, estamos integrando a função
em relação a
de 0 a 2, e depois o resultado disso será integrado em relação a
de 0 a 2.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a integral interna, que é a parte de dentro:
Nessa integral, tratamos
como uma constante porque estamos integrando em relação a
.
Passo 4
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
A primeira integral é de
em relação a
, e a segunda é de
em relação a
.
Passo 5
Calculando a primeira integral:
Agora, a segunda integral:
Passo 6
Substituindo os resultados das integrais internas de volta na expressão original:
Agora, vamos resolver essa integral em relação a
.
Passo 7
Vamos separar novamente a integral:
Primeiro, a integral de 4 em relação a
:
Agora, a segunda integral:
Passo 8
Subtraindo os resultados das duas integrais:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Determine a área de superfície do gráfico de
sobre a região
.
Encontre o volume do sólido delimitado pelo cilindro
e pela superfície cilíndrica
.
Encontre a área delimitada pelo círculo
e a reta
.