Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o exercício propôs: . Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas, que são usadas para calcular áreas, volumes ou outras quantidades em regiões bidimensionais. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis e separar a integral em partes mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral de forma mais clara:
Aqui, estamos integrando a função em relação a de 0 a 2, e depois o resultado disso será integrado em relação a de 0 a 2.

Passo 3

Vamos começar resolvendo a integral interna, que é a parte de dentro:
Nessa integral, tratamos como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
A primeira integral é de em relação a , e a segunda é de em relação a .

Passo 5

Calculando a primeira integral:
Agora, a segunda integral:

Passo 6

Substituindo os resultados das integrais internas de volta na expressão original:
Agora, vamos resolver essa integral em relação a .

Passo 7

Vamos separar novamente a integral:
Primeiro, a integral de 4 em relação a :
Agora, a segunda integral:

Passo 8

Subtraindo os resultados das duas integrais:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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Encontre o volume do sólido delimitado pelo cilindro e pela superfície cilíndrica .
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