Determine a área de superfície do gráfico de z=e^x+y sobre a região 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1.

Passo 1

Resumo da questão: Precisamos encontrar a área da superfície do gráfico da função sobre a região onde e . Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, que nos ajudam a calcular áreas de superfícies definidas por funções de duas variáveis.

Passo 2

Fórmula para a área da superfície: A área A = integral duplaD raiz1 + ( partial zpartial x )^2 + ( partial zpartial y )^2 , dx , dy de uma superfície definida por sobre uma região no plano é dada por:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Vamos encontrar as derivadas parciais de partial zpartial x = e^x + y :
partial zpartial y = e^x + y

Passo 4

Substituindo na fórmula da área:
Agora, substituímos as derivadas parciais na fórmula da área:
A = integral duplaD raiz1 + ( e^x + y )^2 + ( e^x + y )^2 , dx , dy
Simplificando dentro da raiz:
A = integral duplaD raiz1 + 2e^2(x + y) , dx , dy

Passo 5

Configurando os limites de integração:
A região é o quadrado onde e . Portanto, nossos limites de integração serão de 0 a 1 para ambos e .

Passo 6

Expressando a integral dupla:
Agora, podemos escrever a integral dupla com os limites definidos:
A = integral0^1 integral0^1 raiz1 + 2e^2(x + y) , dy , dx

Passo 7

Resolvendo a integral:
Essa integral é um pouco complexa para resolver analiticamente devido à presença da função exponencial dentro da raiz. Portanto, podemos optar por métodos numéricos para encontrar o valor aproximado da área ou deixar a expressão da integral como resposta final.

Resposta

A área da superfície é dada pela integral dupla:
A = integral0^1 integral0^1 raiz1 + 2e^2(x + y) , dy , dx

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