Determine a área de superfície do gráfico de
sobre a região
.
Passo 1
Resumo da questão: Precisamos encontrar a área da superfície do gráfico da função
sobre a região onde
e
. Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, que nos ajudam a calcular áreas de superfícies definidas por funções de duas variáveis.
Passo 2
Fórmula para a área da superfície: A área
de uma superfície definida por
sobre uma região
no plano
é dada por:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Vamos encontrar as derivadas parciais de
:
Passo 4
Substituindo na fórmula da área:
Agora, substituímos as derivadas parciais na fórmula da área:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Configurando os limites de integração:
A região
é o quadrado onde
e
. Portanto, nossos limites de integração serão de 0 a 1 para ambos
e
.
Passo 6
Expressando a integral dupla:
Agora, podemos escrever a integral dupla com os limites definidos:
Passo 7
Resolvendo a integral:
Essa integral é um pouco complexa para resolver analiticamente devido à presença da função exponencial dentro da raiz. Portanto, podemos optar por métodos numéricos para encontrar o valor aproximado da área ou deixar a expressão da integral como resposta final.
Resposta
A área da superfície é dada pela integral dupla: