Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial. e

Passo 1

Beleza! O que a gente tem aqui é um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem. A matéria que vamos usar é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente aquelas com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e, em seguida, usar as condições iniciais dadas para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente usa a equação característica.

Passo 3

A equação característica associada a essa EDO é:
Resolvendo essa equação para , a gente coloca tudo igual a zero e fatoramos:
Então, temos duas raízes:

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da EDO é dada por:
Substituindo os valores de e :

Passo 5

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e . As condições são:
Primeiro, calculamos a derivada de :

Passo 6

Aplicando a primeira condição inicial :
E a segunda condição :

Passo 7

Agora, substituímos o valor de na primeira equação para encontrar :

Passo 8

Com os valores de e encontrados, a solução particular da equação diferencial é:
Podemos simplificar um pouco a expressão:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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