Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
e
Passo 1
Beleza! O que a gente tem aqui é um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem. A matéria que vamos usar é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente aquelas com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e, em seguida, usar as condições iniciais dadas para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente usa a equação característica.
Passo 3
A equação característica associada a essa EDO é:
Resolvendo essa equação para
, a gente coloca tudo igual a zero e fatoramos:
Então, temos duas raízes:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da EDO é dada por:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 5
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
. As condições são:
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Passo 6
Aplicando a primeira condição inicial
:
E a segunda condição
:
Passo 7
Agora, substituímos o valor de
na primeira equação para encontrar
:
Passo 8
Com os valores de
e
encontrados, a solução particular da equação diferencial é:
Podemos simplificar um pouco a expressão:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
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interseção do parabolóide
com o cilindro
, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Calcule a integral de linha
Diretamente.
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