integral0^2 pi integral0^pi sin (x+y) d x d y

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma integral dupla de onde varia de a e de a . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente de integrais duplas e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Começamos integrando em relação a integral0^pi sin(x + y) , dx . Ou seja, vamos calcular:

Passo 3

Para integrar integral sin(x + y) , dx = -cos(x + y) + C em relação a -cos(pi + y) + cos(y) , fazemos:
Aplicando os limites de integração de a :

Passo 4

Simplificando cos(pi + y) = -cos y , usamos a identidade trigonométrica:
-cos(pi + y) = -(-cos y) = cos y
Então:
cos y + cos y = 2cos y
Portanto, a expressão fica:

Passo 5

Agora, integramos o resultado em relação a integral0^2pi 2cos y , dy = 2integral0^2pi cos y , dy de 2[sin y]0^2pi = 2(sin(2pi) - sin(0)) = 2(0 - 0) = 0 a :
Integral de é , então:

Resposta

A integral dupla é igual a 0.

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