Determine o Jacobiano de transformação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o Jacobiano de três transformações diferentes. O Jacobiano é uma ferramenta que nos ajuda a entender como as variáveis mudam quando fazemos uma mudança de coordenadas. Para isso, vamos precisar calcular derivadas parciais e montar uma matriz para encontrar seu determinante.
Passo 2
Parte (a):
Temos as transformações:
Temos as transformações:
Para encontrar o Jacobiano, vamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
.
Primeiro, calculamos as derivadas:
Agora, montamos a matriz jacobiana:
O determinante dessa matriz é:
Passo 3
Parte (b):
As transformações s��o:
As transformações s��o:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, para
:
Agora, para
:
Montamos a matriz jacobiana:
Calculando o determinante:
Passo 4
Parte ©:
As transformações são:
As transformações são:
Vamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
.
Para
:
Para
:
Montamos a matriz jacobiana:
Calculando o determinante:
Resposta
(a) O Jacobiano é
(b) O Jacobiano é
© O Jacobiano é
(b) O Jacobiano é
© O Jacobiano é