Determine o Jacobiano de transformação:
& (a) x=u^2-v^2, y=u^2+v^2 ; & (b) x=uu+v, x=vu-v & (c) x=alpha sin beta, y=alpha cos beta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o Jacobiano de três transformações diferentes. O Jacobiano é uma ferramenta que nos ajuda a entender como as variáveis mudam quando fazemos uma mudança de coordenadas. Para isso, vamos precisar calcular derivadas parciais e montar uma matriz para encontrar seu determinante.

Passo 2

Parte (a):
Temos as transformações:
x = u^2 - v^2, y = u^2 + v^2
Para encontrar o Jacobiano, vamos calcular as derivadas parciais de partial xpartial u = 2u, partial xpartial v = -2v e partial ypartial u = 2u, partial ypartial v = 2v em relação a J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 2u & -2v 2u & 2v e det(J) = (2u)(2v) - (-2v)(2u) = 4uv + 4uv = 8uv .
Primeiro, calculamos as derivadas:
Agora, montamos a matriz jacobiana:
O determinante dessa matriz é:

Passo 3

Parte (b):
As transformações s��o:
x = uu + v, y = vu - v
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, para partial xpartial u = (1)(u + v) - u(1)(u + v)^2 = v(u + v)^2 :
partial xpartial v = 0(u + v) - u(1)(u + v)^2 = -u(u + v)^2
partial ypartial u = 0(u - v) - v(1)(u - v)^2 = -v(u - v)^2
Agora, para partial ypartial v = 1(u - v) - v(-1)(u - v)^2 = u - v + v(u - v)^2 = u(u - v)^2 :
J = v(u + v)^2 & -u(u + v)^2 -v(u - v)^2 & u(u - v)^2
det(J) = (v(u + v)^2)(u(u - v)^2) - (-u(u + v)^2)(-v(u - v)^2) = uv(u + v)^2(u - v)^2 - uv(u + v)^2(u - v)^2) = 0
Montamos a matriz jacobiana:
Calculando o determinante:

Passo 4

Parte ©:
As transformações são:
x = alpha sin beta, y = alpha cos beta
Vamos calcular as derivadas parciais de partial xpartial alpha = sin beta, partial xpartial beta = alpha cos beta e partial ypartial alpha = cos beta, partial ypartial beta = -alpha sin beta em relação a J = sin beta & alpha cos beta cos beta & -alpha sin beta e det(J) = (sin beta)(-alpha sin beta) - (alpha cos beta)(cos beta) = -alpha sin^2 beta - alpha cos^2 beta = -alpha (sin^2 beta + cos^2 beta) = -alpha .
Para :
Para :
Montamos a matriz jacobiana:
Calculando o determinante:

Resposta

(a) O Jacobiano é
(b) O Jacobiano é
© O Jacobiano é

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