Determine a área da superfície da parte da esfera que está dentro do parabolóide .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para achar a área da parte de uma esfera que está dentro de um parabolóide. Especificamente, a esfera é definida pela equação e o parabolóide pela equação .
O que precisamos saber: Vamos usar conceitos de geometria espacial, especialmente sobre equações de superfícies como esferas e parabolóides, além de integrais para calcular áreas de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a equação da esfera: . Para simplificar, completamos o quadrado para encontrar o centro e o raio da esfera.
Subtraindo de ambos os lados:
Agora, completamos o quadrado para o termo de :
Isso simplifica para:
Então, a esfera tem centro em e raio .
Teoria aplicada: Completamento do quadrado para identificar características de uma esfera.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a interseção entre a esfera e o parabolóide. Substituímos da equação do parabolóide na equação da esfera:
Vamos chamar para simplificar:
Isso nos dá ou .
Teoria aplicada: Resolvendo equações para encontrar curvas de interseção entre superfícies.

Passo 4

Para calcular a área da superfície da esfera que está dentro do parabolóide, vamos usar coordenadas polares (simplificam problemas de simetria circular). Em coordenadas polares, temos:
E sabemos que .
A esfera, reescrita em coordenadas polares, fica:
Resolvendo, encontramos que a interseção ocorre em .
Teoria aplicada: Uso de coordenadas polares para simplificar integrais e equações de superfícies.

Passo 5

Agora, para encontrar a área superficial, usamos a fórmula da área em coordenadas polares para uma esfera:
Aqui, derivamos o elemento de área da esfera em coordenadas polares, considerando a limitação do raio .
Teoria aplicada: Cálculo de área de superfícies usando integrais duplas em coordenadas polares.

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Primeiro, resolvemos a integral interna:
Substituindo , então , ou .
A integral interna fica:
Avaliando de a :
Agora, a integral externa:

Resposta

A área da superfície da parte da esfera que está dentro do parabolóide é .

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