Determine a área da superfície da parte da esfera
que está dentro do parabolóide
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para achar a área da parte de uma esfera que está dentro de um parabolóide. Especificamente, a esfera é definida pela equação
e o parabolóide pela equação
.
O que precisamos saber: Vamos usar conceitos de geometria espacial, especialmente sobre equações de superfícies como esferas e parabolóides, além de integrais para calcular áreas de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a equação da esfera:
. Para simplificar, completamos o quadrado para encontrar o centro e o raio da esfera.
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora, completamos o quadrado para o termo de
:
Isso simplifica para:
Então, a esfera tem centro em
e raio
.
Teoria aplicada: Completamento do quadrado para identificar características de uma esfera.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a interseção entre a esfera e o parabolóide. Substituímos
da equação do parabolóide na equação da esfera:
Vamos chamar
para simplificar:
Isso nos dá
ou
.
Teoria aplicada: Resolvendo equações para encontrar curvas de interseção entre superfícies.
Passo 4
Para calcular a área da superfície da esfera que está dentro do parabolóide, vamos usar coordenadas polares (simplificam problemas de simetria circular). Em coordenadas polares, temos:
E sabemos que
.
A esfera, reescrita em coordenadas polares, fica:
Resolvendo, encontramos que a interseção ocorre em
.
Teoria aplicada: Uso de coordenadas polares para simplificar integrais e equações de superfícies.
Passo 5
Agora, para encontrar a área superficial, usamos a fórmula da área em coordenadas polares para uma esfera:
Aqui, derivamos o elemento de área da esfera em coordenadas polares, considerando a limitação do raio
.
Teoria aplicada: Cálculo de área de superfícies usando integrais duplas em coordenadas polares.
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Primeiro, resolvemos a integral interna:
Substituindo
, então
, ou
.
A integral interna fica:
Avaliando de
a
:
Agora, a integral externa:
Resposta
A área da superfície da parte da esfera que está dentro do parabolóide é
.
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