Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teste Limite de Comparação para descobrir se a série
converge ou diverge. Vamos precisar entender um pouquinho sobre séries, comparação de séries e como aplicar o teste limite.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a série. O número 25 é só um fator constante e não afeta a convergência, então podemos focar em analisar a série
.
Passo 3
Agora, precisamos escolher uma série com a qual possamos comparar. Olhando para
, percebemos que o termo dominante no numerador é
e no denominador temos
(já que
é aproximadamente
para grandes valores de
).
Passo 4
Assim, uma boa série para comparar é
. Essa é uma série geométrica com razão
, que sabemos que converge porque
.
Passo 5
Agora, aplicamos o Teste Limite de Comparação. Vamos calcular o limite:
Passo 6
Simplificando o limite:
Passo 7
Como o limite é um número finito e positivo (
), e a série com que estamos comparando (
) converge, podemos concluir pelo Teste Limite de Comparação que a série original também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
Determine a área da superfície da parte da esfera
que está dentro do parabolóide
.
Determine se a série converge ou diverge.
Determine se a série converge ou diverge.