Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
25 sumn=1^infty 8 n^2-7e^n(n+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teste Limite de Comparação para descobrir se a série converge ou diverge. Vamos precisar entender um pouquinho sobre séries, comparação de séries e como aplicar o teste limite.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a série. O número 25 é só um fator constante e não afeta a convergência, então podemos focar em analisar a série .

Passo 3

Agora, precisamos escolher uma série com a qual possamos comparar. Olhando para , percebemos que o termo dominante no numerador é e no denominador temos (já que é aproximadamente para grandes valores de ).

Passo 4

Assim, uma boa série para comparar é . Essa é uma série geométrica com razão , que sabemos que converge porque .

Passo 5

Agora, aplicamos o Teste Limite de Comparação. Vamos calcular o limite:
limn to infty 8n^2 - 7e^n(n+1)^21e^n = limn to infty 8n^2 - 7(n+1)^2

Passo 6

Simplificando o limite:
limn to infty 8n^2 - 7n^2 + 2n + 1 = limn to infty 8 - 7n^21 + 2n + 1n^2 = 8 - 01 + 0 + 0 = 8

Passo 7

Como o limite é um número finito e positivo ( ), e a série com que estamos comparando ( ) converge, podemos concluir pelo Teste Limite de Comparação que a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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