Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
15 sumn=1^infty 1n 3^n

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a série infinita 15 sumn=1^infty 1n 3^n e precisamos usar um teste de comparação para decidir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos precisar conhecer os testes básicos de comparação e entender como aplicar um série que já conhecemos para comparar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a série removendo o fator constante 15, já que ele não afeta a convergência da série. Focamos então na série sumn=1^infty 1n 3^n.

Passo 3

Agora, observamos o termo geral da série, que é 1n 3^n. Queremos comparar esse termo com o termo de uma série que já sabemos se converge ou diverge. Uma boa escolha aqui é a série geométrica sumn=1^infty 13^n, porque sabemos que ela converge (já que a razão r = 13 < 1).

Passo 4

Comparando os dois termos, temos que:
1n 3^n < 13^n
para todo n >= 1, já que n >= 1. Isso significa que cada termo da nossa série original é menor que o termo correspondente da série geométrica que sabemos que converge.

Resposta

Portanto, pela comparação direta, a série 15 sumn=1^infty 1n 3^n converge.

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