Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a série infinita e precisamos usar um teste de comparação para decidir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos precisar conhecer os testes básicos de comparação e entender como aplicar um série que já conhecemos para comparar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a série removendo o fator constante 15, já que ele não afeta a convergência da série. Focamos então na série .

Passo 3

Agora, observamos o termo geral da série, que é . Queremos comparar esse termo com o termo de uma série que já sabemos se converge ou diverge. Uma boa escolha aqui é a série geométrica , porque sabemos que ela converge (já que a razão ).

Passo 4

Comparando os dois termos, temos que:
para todo , já que . Isso significa que cada termo da nossa série original é menor que o termo correspondente da série geométrica que sabemos que converge.

Resposta

Portanto, pela comparação direta, a série converge.

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