Determine a área da superfície que é a parte do plano 3 x+2 y+z=6 que está no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a área da parte do plano que está no primeiro octante. Primeiro, vamos lembrar que o primeiro octante é a região onde , e são todos positivos. Para resolver isso, precisamos identificar os limites dessa área no plano e depois calcular a área usando geometria.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde o plano intercepta os eixos 3x = 6 Rightarrow x = 2 , 2y = 6 Rightarrow y = 3 e z = 6 no primeiro octante. Para isso, vamos definir dois dos três coordenadas como zero e resolver para a terceira.
  • Quando e :
    Então, um ponto é .
  • Quando e :
    Então, outro ponto é .
  • Quando e :
    Então, o terceiro ponto é .

Passo 3

Agora que temos os três pontos de interseção , e , podemos visualizar que a área que queremos é um triângulo no primeiro octante. Para calcular a área desse triângulo, podemos usar a fórmula da área de um triângulo no espaço tridimensional.

Passo 4

Vamos usar a fórmula da área de um triângulo dado por três pontos Área = 12 | AB times AC | , AB = B - A = (0 - 2, 3 - 0, 0 - 0) = (-2, 3, 0) e AC = C - A = (0 - 2, 0 - 0, 6 - 0) = (-2, 0, 6) :
Á
Primeiro, calculamos os vetores e :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto vetorial AB times AC = i & j & k -2 & 3 & 0 -2 & 0 & 6 :
= i(3 cdot 6 - 0 cdot 0) - j(-2 cdot 6 - 0 cdot -2) + k(-2 cdot 0 - 3 cdot -2)
= i(18) - j(-12) + k(6)
= (18, 12, 6)

Passo 6

Agora, calculamos a magnitude desse vetor:
| AB times AC | = raiz18^2 + 12^2 + 6^2 = raiz324 + 144 + 36 = raiz504
raiz504 = raiz36 times 14 = 6raiz14

Passo 7

Finalmente, a área do triângulo é:
Área = 12 times 6raiz14 = 3raiz14 Á

Resposta

A área da superfície é unidades de área.

Exercícios relacionados