Determine a área da superfície que é a parte do plano que está no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a área da parte do plano que está no primeiro octante. Primeiro, vamos lembrar que o primeiro octante é a região onde , e são todos positivos. Para resolver isso, precisamos identificar os limites dessa área no plano e depois calcular a área usando geometria.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde o plano intercepta os eixos , e no primeiro octante. Para isso, vamos definir dois dos três coordenadas como zero e resolver para a terceira.
  • Quando e :
    Então, um ponto é .
  • Quando e :
    Então, outro ponto é .
  • Quando e :
    Então, o terceiro ponto é .

Passo 3

Agora que temos os três pontos de interseção , e , podemos visualizar que a área que queremos é um triângulo no primeiro octante. Para calcular a área desse triângulo, podemos usar a fórmula da área de um triângulo no espaço tridimensional.

Passo 4

Vamos usar a fórmula da área de um triângulo dado por três pontos , e :
Á
Primeiro, calculamos os vetores e :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto vetorial :

Passo 6

Agora, calculamos a magnitude desse vetor:

Passo 7

Finalmente, a área do triângulo é:
Á

Resposta

A área da superfície é unidades de área.

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