Determine a área da superfície que é a parte do plano que está no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a área da parte do plano que está no primeiro octante. Primeiro, vamos lembrar que o primeiro octante é a região onde , e são todos positivos. Para resolver isso, precisamos identificar os limites dessa área no plano e depois calcular a área usando geometria.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde o plano intercepta os eixos , e no primeiro octante. Para isso, vamos definir dois dos três coordenadas como zero e resolver para a terceira.
Quando e :
Então, um ponto é .
Quando e :
Então, outro ponto é .
Quando e :
Então, o terceiro ponto é .
Passo 3
Agora que temos os três pontos de interseção , e , podemos visualizar que a área que queremos é um triângulo no primeiro octante. Para calcular a área desse triângulo, podemos usar a fórmula da área de um triângulo no espaço tridimensional.
Passo 4
Vamos usar a fórmula da área de um triângulo dado por três pontos , e :
Primeiro, calculamos os vetores e :
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto vetorial :
= i(18) - j(-12) + k(6)
= (18, 12, 6)
Passo 6
Agora, calculamos a magnitude desse vetor:
| AB times AC | = raiz18^2 + 12^2 + 6^2 = raiz324 + 144 + 36 = raiz504