Resolva a equação de Ricatti
, sabendo que
é uma solução desta equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial chamada de Equação de Riccati:
Já sabemos que
é uma solução dessa equação. Nosso objetivo aqui é resolver essa equação usando esse conhecimento. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre substituições em equações diferenciais e como transformar uma equação de Riccati em uma equação diferencial linear, que é mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a solução conhecida
para fazer uma substituição que vai simplificar nossa equação. A ideia é escrever
como a soma dessa solução particular mais algo novo, ou seja:
Aqui,
é uma nova função que vamos determinar. Essa substituição é útil porque transforma a equação de Riccati em uma equação linear em termos de
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Vamos calcular
:
Substituímos
e
na equação original:
Passo 4
Vamos simplificar a equação passo a passo. Primeiro, expandindo os termos da direita:
E para o termo quadrático:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, vamos igualar os termos e reorganizar a equação:
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Mas isso ainda parece complicado. Uma forma melhor é notar que, após a substituição, a equação linear resultante deve ser de primeira ordem. Portanto, vamos reorganizar os termos para obter uma equação linear em
.
Passo 6
Voltando à equação simplificada:
Podemos mover
para o outro lado:
Agora, multiplicando ambos os lados por
:
Observamos que a equação ainda é não linear, sugerindo que precisamos revisar nossa substituição. Na verdade, para transformar uma equação de Riccati em linear, usamos a substituição
e chegamos a uma equação linear para
.
Vamos refazer:
Após a substituição, a equação linear em
fica:
Passo 7
Agora temos uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Para resolver, vamos usar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação pela
:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Vamos simplificar a integral do lado direito. Observamos que:
Fazendo uma substituição
, mas essa integral pode não ter uma expressão elementar. Assim, para simplificar, podemos expressar a solução em termos de funções especiais ou deixar a integral indefinida.
Passo 9
Após integrar, isolamos
:
Agora, lembrando que
, substituímos
para encontrar
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação de Riccati dada é:
onde
é a constante de integração. Esta expressão representa todas as soluções possíveis para a equação diferencial inicial, utilizando a solução particular
fornecida.