Resolva as seguinte equações de Bernoulli x^2 y^prime-2 x y=3 y^4, y(1)=1 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que é dada por com a condição inicial . A matéria aqui é Equações Diferenciais, especificamente as Equações de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar transformar a equação em uma forma que a gente consiga resolver mais facilmente, usando substituições e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para deixá-la mais clara. A equação dada é:
x^2 dydx - 2x y = 3 y^4
Podemos reescrever isso isolando dydx - 2x y = 3x^2 y^4 :
dydx + P(x)y = Q(x)y^n
Essa forma nos ajuda a identificar que estamos diante de uma Equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
No nosso caso, , e .

Passo 3

Para resolver uma Equação de Bernoulli, a gente faz uma substituição que transforma a equação em uma equação linear. Vamos definir:
v = y^1 - n = y^-3
Agora, vamos calcular a derivada de dvdx = -3 y^-4 dydx em relação a :
Agora, substituímos na equação original.

Passo 4

Substituindo na equação original:
dydx - 2x y = 3x^2 y^4
Multiplicamos ambos os lados por -3 y^-4 dydx + 6x y^-3 = -9x^2 :
dvdx + 6x v = -9x^2
Lembrando que , temos:
Agora, temos uma equação linear em termos de .

Passo 5

Vamos resolver essa equação linear usando um fator integrante. O fator integrante mu(x) = e^integral 6x dx = e^6 ln x = x^6 é dado por:
x^6 dvdx + 6 x^5 v = -9 x^4
Multiplicamos toda a equação por ddx(x^6 v) = -9 x^4 :
Isso pode ser escrito como a derivada de :

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a x^6 v = integral -9 x^4 dx = -95 x^5 + C :
v = -95 x^-1 + C x^-6
Agora, isolamos :

Passo 7

Lembrando que y^-3 = -95 x^-1 + C x^-6 , substituímos de volta:
y^3 = 1 -95 x^-1 + C x^-6
Podemos reescrever isso como:

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial (12)^3 = 1 -95 cdot 1^-1 + C cdot 1^-6 para encontrar a constante 18 = 1 -95 + C :
- 95 + C = 8
C = 8 + 95 = 495
Invertendo ambos os lados:

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = ( -95 x^-1 + 495 x^-6 )^-13

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