Resolva as seguinte equações de Bernoulli .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que é dada por com a condição inicial . A matéria aqui é Equações Diferenciais, especificamente as Equações de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar transformar a equação em uma forma que a gente consiga resolver mais facilmente, usando substituições e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para deixá-la mais clara. A equação dada é:
Podemos reescrever isso isolando :
Essa forma nos ajuda a identificar que estamos diante de uma Equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
No nosso caso, , e .

Passo 3

Para resolver uma Equação de Bernoulli, a gente faz uma substituição que transforma a equação em uma equação linear. Vamos definir:
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Agora, substituímos na equação original.

Passo 4

Substituindo na equação original:
Multiplicamos ambos os lados por :
Lembrando que , temos:
Agora, temos uma equação linear em termos de .

Passo 5

Vamos resolver essa equação linear usando um fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação por :
Isso pode ser escrito como a derivada de :

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Agora, isolamos :

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:
Podemos reescrever isso como:

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Invertendo ambos os lados:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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