Resolva as seguinte equações de Bernoulli
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que é dada por
com a condição inicial
. A matéria aqui é Equações Diferenciais, especificamente as Equações de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar transformar a equação em uma forma que a gente consiga resolver mais facilmente, usando substituições e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para deixá-la mais clara. A equação dada é:
Podemos reescrever isso isolando
:
Essa forma nos ajuda a identificar que estamos diante de uma Equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Para resolver uma Equação de Bernoulli, a gente faz uma substituição que transforma a equação em uma equação linear. Vamos definir:
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Agora, substituímos
na equação original.
Passo 4
Substituindo na equação original:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Lembrando que
, temos:
Agora, temos uma equação linear em termos de
.
Passo 5
Vamos resolver essa equação linear usando um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso pode ser escrito como a derivada de
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Agora, isolamos
:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Podemos reescrever isso como:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Invertendo ambos os lados:
Resposta
A solução da equação diferencial é: