Encontre a solução geral das EDOS de primeira ordem:

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem: . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias (EDOs) de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e e então integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar :
Isso coloca a derivada em termos de e , facilitando a separação das variáveis.

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, colocamos todos os termos com de um lado e os termos com do outro:
Isso permite que a equação seja integrada em ambos os lados separadamente.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiramente, o lado esquerdo:
Para integrar essa fração, usamos frações parciais. Podemos escrever:
Resolvendo para e , encontramos e . Então:

Passo 5

Agora, integramos o lado direito da equação:

Passo 6

Unimos os resultados das integrações e simplificamos:
Multiplicando ambos os lados por 3 para simplificar:

Passo 7

Aplicamos propriedades dos logaritmos:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
onde é a constante geral.

Passo 8

Resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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