Encontre a solução geral das EDOS de primeira ordem:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem:
. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias (EDOs) de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
e então integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar
:
Isso coloca a derivada
em termos de
e
, facilitando a separação das variáveis.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, colocamos todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Isso permite que a equação seja integrada em ambos os lados separadamente.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiramente, o lado esquerdo:
Para integrar essa fração, usamos frações parciais. Podemos escrever:
Resolvendo para
e
, encontramos
e
. Então:
Passo 5
Agora, integramos o lado direito da equação:
Passo 6
Unimos os resultados das integrações e simplificamos:
Multiplicando ambos os lados por 3 para simplificar:
Passo 7
Aplicamos propriedades dos logaritmos:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
onde
é a constante geral.
Passo 8
Resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
©
©
Resolva as seguinte equações de Bernoulli
.
Determine a área da superfície que é a parte do plano
que está no primeiro octante.