Encontre a solução geral das EDOS de primeira ordem: (g) 3 x^2 y^prime=2 y(y-3)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem: . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias (EDOs) de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e e então integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar y' = 2y(y - 3)3x^2 :
Isso coloca a derivada em termos de e , facilitando a separação das variáveis.

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis dyy(y - 3) = 23x^2 dx e . Para isso, colocamos todos os termos com de um lado e os termos com do outro:
Isso permite que a equação seja integrada em ambos os lados separadamente.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiramente, o lado esquerdo:
integral 1y(y - 3) dy
Para integrar essa fração, usamos frações parciais. Podemos escrever:
1y(y - 3) = Ay + By - 3
Resolvendo para integral ( -13y + 13(y - 3) ) dy = -13 ln|y| + 13 ln|y - 3| + C1 e , encontramos e . Então:

Passo 5

Agora, integramos o lado direito da equação:
integral 23x^2 dx = 23 integral x^-2 dx = 23 ( -x^-1 ) + C2 = -23x + C2

Passo 6

Unimos os resultados das integrações e simplificamos:
-13 ln|y| + 13 ln|y - 3| = -23x + C
Multiplicando ambos os lados por 3 para simplificar:
-ln|y| + ln|y - 3| = -2x + C'

Passo 7

Aplicamos propriedades dos logaritmos:
ln( y - 3y ) = -2x + C'
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
y - 3y = e^-2x + C' = Ke^-2x
onde é a constante geral.

Passo 8

Resolvemos para y - 3 = K y e^-2x :
y (1 - K e^-2x) = 3
y = 31 - K e^-2x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 31 - C e^-2x
onde é uma constante arbitrária.

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