Determine a área da superfície:
A parte da superfície que está entre os planos , e . Resp:
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos Necessários
Vamos determinar a área da superfície definida pela equação que está limitada pelos planos , , e . Para resolver esse problema, vamos utilizar o conceito de área de superfícies paramétricas. Precisaremos calcular as derivadas parciais da função em relação a e e aplicar a fórmula da área de uma superfície.
Passo 2
Expressão da Área da Superfície
A área de uma superfície definida por uma função pode ser calculada usando a seguinte fórmula de integração dupla:
Onde é a região de integração definida pelos limites de e .
Passo 3
Cálculo das Derivadas Parciais
Vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e :
Passo 4
Substituição na Fórmula da Área
Substituindo as derivadas parciais na fórmula da área:
Passo 5
Definição dos Limites de Integração
Os limites de integração estão definidos pelos planos , , e . Portanto, a região é:
Passo 6
Simplificação da Integral
Como a expressão não depende de , podemos integrar em relação a primeiro:
Portanto:
Passo 7
Cálculo da Integral
Para resolver a integral , podemos usar uma substituição trigonométrica ou uma tabela de integrais. A solução dessa integral é: