Determine a área da superfície:
A parte da superfície y = 4 x + z^2 que está entre os planos x = 0, x = 1, z = 0 e z = 1. Resp: A = (raiz(21) / 2) + (17 / 4) * [ln(2 + raiz(21)) - ln(raiz(17))]

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Necessários
Vamos determinar a área da superfície definida pela equação que está limitada pelos planos , , e . Para resolver esse problema, vamos utilizar o conceito de área de superfícies paramétricas. Precisaremos calcular as derivadas parciais da função em relação a e e aplicar a fórmula da área de uma superfície.

Passo 2

Expressão da Área da Superfície
A área de uma superfície definida por uma função pode ser calculada usando a seguinte fórmula de integração dupla:
Onde é a região de integração definida pelos limites de e .

Passo 3

Cálculo das Derivadas Parciais
Vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Substituição na Fórmula da Área
Substituindo as derivadas parciais na fórmula da área:

Passo 5

Definição dos Limites de Integração
Os limites de integração estão definidos pelos planos , , e . Portanto, a região é:

Passo 6

Simplificação da Integral
Como a expressão não depende de , podemos integrar em relação a primeiro:
Portanto:

Passo 7

Cálculo da Integral
Para resolver a integral , podemos usar uma substituição trigonométrica ou uma tabela de integrais. A solução dessa integral é:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Aplicação dos Limites de Integração
Aplicando os limites de a :
Simplificando:

Resposta

A área da superfície é:

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