Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor dado de x0. Ache o raio de convergência
f(x) = sen(x), x0 = pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a série de Taylor da função , centrada em . Para isso, precisamos lembrar que a série de Taylor expande uma função em série polinomial em torno de um ponto específico. Além disso, vamos precisar calcular a derivadas da função e avaliar essas derivadas em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da série de Taylor para uma função centrada em :
Aqui, representa a n-ésima derivada de avaliada em .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e avaliar em :
  • E assim por diante…

Passo 4

Observando o padrão das derivadas, vemos que as derivadas de ordem par (segunda, quarta, etc.) avaliam para zero, enquanto as derivadas de ordem ímpar alternam entre -1 e 1. Portanto, a série de Taylor será composta apenas pelos termos ímpares.

Passo 5

Vamos montar a série usando os termos não nulos:
E sabemos que , então:

Passo 6

Agora, para encontrar o raio de convergência da série, utilizamos o fato de que a série de Taylor da função em qualquer ponto tem o mesmo raio de convergência que a série original em torno de zero, que é infinito. Isso ocorre porque é uma função inteira, ou seja, analítica em todo o plano complexo.

Resposta

A série de Taylor de centrada em é
e o raio de convergência é infinito.

Exercícios relacionados

Resolva: integral duplaR e^(x^2+y^2) d A, sendo R a região delimitada por x^2+y^2=1 ex x^2+y^2=9.
Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor dado de x0. Ache o raio de convergência
f(x) = e^(x), x0 = 3
Determine a área da superfície:
A parte da superfície y = 4 x + z^2 que está entre os planos x = 0, x = 1, z = 0 e z = 1. Resp: A = (raiz(21) / 2) + (17 / 4) * [ln(2 + raiz(21)) - ln(raiz(17))]
Determine dy/dx por derivaçāo implicita.
x ln(y) + y ln(x) = x y