Determine dy/dx por derivaçāo implicita.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação usando derivação implícita. A gente tem a equação
e precisamos achar
. Pra isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
, lembrando que
é uma função de
.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar cada termo da equação separadamente. Lembre-se que quando temos uma função composta, como
, a gente precisa usar a regra da cadeia.
- Diferenciando
:
Usamos a regra do produto, que diz que. Simplificando:
Passo 3
- Diferenciando
:
Mais uma vez, usamos a regra do produto.Simplificando:
Passo 4
- Diferenciando
:
Novamente, aplicamos a regra do produto.Simplificando:
Passo 5
Agora, juntamos todas as derivadas na equação original:
Passo 6
Vamos reunir os termos que contêm
de um lado e os demais termos do outro:
Passo 7
Fatoramos
no lado esquerdo:
Passo 8
Por fim, isolamos
dividindo ambos os lados pela expressão que multiplica ele:
Resposta
A derivada
é dada por:
Exercícios relacionados
Determine a área da superfície:
A parte da superfície que está entre os planos
,
e
. Resp:
A parte da superfície
Encontre a série de Taylor de
centrada no valor dado de
. Ache o raio de convergência
Sendo
e
, obtenha sen
.
Construa o gráfico, dê o período e a imagem das seguintes funções:
a)
a)