Use integral tripla para determinar o volume do tetraedro
limitado pelos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um tetraedro definido por quatro planos:
,
,
e
. Vamos usar integrais triplas, que fazem parte do cálculo multivariável, para calcular esse volume. Para isso, precisamos entender os limites de integração baseados nesses planos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites onde
e
vai até o plano
. Isso significa que
varia de 0 até
.
Passo 3
Agora, vamos ver como
e
variam. Sabemos que
e
. Para encontrar os limites de
, vamos olhar para a interseção dos planos no plano
. Quando
, a equação
se torna
. Mas também temos
, então igualando as duas expressões para
:
Então,
varia de 0 a
.
Passo 4
Com
indo de 0 a
,
varia de
até
. Agora podemos montar os limites de integração:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo:
Primeiro, integremos em relação a
:
Agora, a integral fica:
Integrando em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do tetraedro
é
unidades cúbicas.