Use integral tripla para determinar o volume do tetraedro T limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um tetraedro definido por quatro planos: , , e . Vamos usar integrais triplas, que fazem parte do cálculo multivariável, para calcular esse volume. Para isso, precisamos entender os limites de integração baseados nesses planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites onde e vai até o plano . Isso significa que varia de 0 até .

Passo 3

Agora, vamos ver como e variam. Sabemos que e . Para encontrar os limites de , vamos olhar para a interseção dos planos no plano . Quando , a equação se torna . Mas também temos , então igualando as duas expressões para :
Então, varia de 0 a .

Passo 4

Com indo de 0 a , varia de até . Agora podemos montar os limites de integração:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo:
Primeiro, integremos em relação a :
Agora, a integral fica:
Integrando em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Resposta

O volume do tetraedro é unidades cúbicas.

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