Determine a derivada de z = ln(x/y) no ponto P(1/2, -1/3), na direção v = 3i - 4j.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que nos mostra como a função muda em uma direção específica.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a e .
Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 3

Agora, substituímos as coordenadas do ponto nessas derivadas para encontrar o gradiente no ponto:
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 4

Agora, vamos lidar com o vetor direção . Para usarmos esse vetor na derivada direcional, ele precisa ser um vetor unitário, ou seja, ter comprimento 1.
Primeiro, calculamos o comprimento de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

Por fim, a derivada direcional de na direção de é o produto escalar entre o gradiente de e :

Resposta

A derivada de no ponto na direção de é .

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