Determine a derivada direcional mínima da função
, no ponto
e a direção em que sua derivada, neste ponto, se torna máxima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a derivada direcional mínima da função
no ponto
e também a direção em que essa derivada é máxima. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente e derivadas direcionais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação a cada variável. Fórmula do gradiente:
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
- Para
:
- Para
:
(Lembrando que
, mas
)
- Para
:
Passo 5
Com isso, o gradiente no ponto dado é:
Passo 6
A derivada direcional
na direção de um vetor unitário
é dada por:
Passo 7
Para encontrar a derivada direcional mínima, queremos minimizar
sujeito à condição de que
seja um vetor unitário, ou seja:
Passo 8
A mínima derivada direcional ocorre na direção oposta ao gradiente. Portanto, a derivada direcional mínima é:
Onde
é a norma do gradiente:
Então:
Passo 9
A direção em que a derivada é máxima é a direção do próprio gradiente, ou seja:
Resposta
A derivada direcional mínima da função no ponto
é
e a direção em que essa derivada é máxima é
.
Exercícios relacionados
Determine a derivada de
no ponto
, na direção
.
De um funil cônico escoa água à razão de
. Sabendo-se que a geratriz faz com o eixo do cone um ângulo
, ache a velocidade com que baixa o nível da água do funil, no instante em que o raio da base do volume líquido for igual a 4 cm .
Determine a área da superfície do plano
que está dentro do cilindro
.
Resolva:
,