Determine a derivada direcional mínima da função , no ponto e a direção em que sua derivada, neste ponto, se torna máxima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a derivada direcional mínima da função no ponto e também a direção em que essa derivada é máxima. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente e derivadas direcionais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação a cada variável. Fórmula do gradiente:

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
  1. Para :
  1. Para :
(Lembrando que , mas )
  1. Para :

Passo 5

Com isso, o gradiente no ponto dado é:

Passo 6

A derivada direcional na direção de um vetor unitário é dada por:

Passo 7

Para encontrar a derivada direcional mínima, queremos minimizar sujeito à condição de que seja um vetor unitário, ou seja:

Passo 8

A mínima derivada direcional ocorre na direção oposta ao gradiente. Portanto, a derivada direcional mínima é:
í
Onde é a norma do gradiente:
Então:
í

Passo 9

A direção em que a derivada é máxima é a direção do próprio gradiente, ou seja:
á

Resposta

A derivada direcional mínima da função no ponto é e a direção em que essa derivada é máxima é .

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Resolva:
,