Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a área da superfície da função no intervalo onde e . Vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies que envolvem derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, para encontrar a área da superfície, precisamos usar a fórmula de integração dupla para a área da superfície :
Onde é a região de integração, que nesse caso é o quadrado .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Passo 4
Substituindo as derivadas na fórmula da área, temos:
Passo 5
Agora, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . A integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazendo a substituição , temos . Quando , ; e quando , .
Então a integral se torna:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Vamos separar essa integral em duas partes:
Passo 8
Calculando cada integral separadamente:
Para , fazemos a substituição , então , e a integral se torna:
Aplicando isso para as duas integrais:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão para :
Simplificando:
Passo 10
Calculando os valores numéricos:
Substituindo:
Resposta
A área da superfície é aproximadamente unidades quadradas.