Determine a área da superficie:
z = (2/3) * (x^(3/2) + y^(3/2)), 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a área da superfície da função no intervalo onde e . Vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies que envolvem derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, para encontrar a área da superfície, precisamos usar a fórmula de integração dupla para a área da superfície :
Onde é a região de integração, que nesse caso é o quadrado .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Substituindo as derivadas na fórmula da área, temos:

Passo 5

Agora, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . A integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazendo a substituição , temos . Quando , ; e quando , .
Então a integral se torna:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral externa:
Vamos separar essa integral em duas partes:

Passo 8

Calculando cada integral separadamente:
Para , fazemos a substituição , então , e a integral se torna:
Aplicando isso para as duas integrais:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão para :
Simplificando:

Passo 10

Calculando os valores numéricos:
Substituindo:

Resposta

A área da superfície é aproximadamente unidades quadradas.

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