Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo:
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar e classificar os pontos críticos da função
, onde
. Isso está ligado ao cálculo diferencial, especificamente ao estudo das derivadas. Para resolver, vamos precisar encontrar a derivada da função e descobrir onde ela é igual a zero ou onde não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função. Usamos as regras básicas de derivação:
Passo 3
Agora, queremos encontrar os pontos críticos. Eles ocorrem onde a derivada é igual a zero ou onde a derivada não existe. Vamos resolver
:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 5
Também precisamos verificar onde a derivada não existe. Observamos que a função original
já exclui
, então não há outros pontos críticos nesse caso.
Passo 6
Agora, vamos classificar o ponto crítico encontrado. Para isso, usamos a segunda derivada. Vamos calcular
:
Passo 7
Avaliar a segunda derivada no ponto crítico
:
Como
, significa que a função tem um mínimo local nesse ponto.
Resposta
A função
possui um ponto crítico em
, que é um mínimo local.
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.
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.
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20a
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