Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo: f(x) = x^2 + 1/x, onde x != 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar e classificar os pontos críticos da função , onde . Isso está ligado ao cálculo diferencial, especificamente ao estudo das derivadas. Para resolver, vamos precisar encontrar a derivada da função e descobrir onde ela é igual a zero ou onde não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função. Usamos as regras básicas de derivação:

Passo 3

Agora, queremos encontrar os pontos críticos. Eles ocorrem onde a derivada é igual a zero ou onde a derivada não existe. Vamos resolver :

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar :
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 5

Também precisamos verificar onde a derivada não existe. Observamos que a função original já exclui , então não há outros pontos críticos nesse caso.

Passo 6

Agora, vamos classificar o ponto crítico encontrado. Para isso, usamos a segunda derivada. Vamos calcular :

Passo 7

Avaliar a segunda derivada no ponto crítico :
Como , significa que a função tem um mínimo local nesse ponto.

Resposta

A função possui um ponto crítico em , que é um mínimo local.

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