Esboce o gráfico de cada uma das funções definidas abaixo.
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Esboce o gráfico de cada uma das funções definidas abaixo: f(x) = x^4 - x^3.

Passo 1

Beleza, a gente vai trabalhar com o enunciado que pede para esboçar o gráfico da função . Vamos usar conceitos de funções polinomiais, como identificar raízes, extremos, e comportamento da função para desenhar um gráfico legal. Vamos precisar entender um pouco de cálculo, tipo derivadas, para achar os pontos importantes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as raízes da função, ou seja, os valores de onde . Resolvendo , podemos fatorar:
Então, as raízes são (com multiplicidade 3) e . Isso nos dá os pontos onde a função cruza o eixo .

Passo 3

Agora, vamos descobrir os extremos da função, ou seja, onde ela tem máximos ou mínimos locais. Para isso, calculamos a primeira derivada de :
Igualando a zero para achar os pontos críticos:
As soluções são e . Vamos investigar se são máximos ou mínimos.

Passo 4

Para saber se os pontos críticos são máximos ou mínimos, usamos a segunda derivada:
Avaliando em :
Como a segunda derivada é zero, precisamos analisar a mudança de concavidade ou usar outras técnicas. Já em :
Então, é um ponto de mínimo local.

Passo 5

Vamos também analisar o comportamento da função para indo para e . O termo de maior grau é , que domina o comportamento:
  • Conforme , .
  • Conforme , .
Isso significa que os ramos da função sobem para ambos os lados.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos resumir:
  • Raízes em e .
  • Mínimo local em .
  • A função sobe para .
  • A função cruza o eixo em .

Resposta

Com base na análise, o gráfico da função tem raízes em e , um mínimo local em , e tende a quando vai para . O esboço do gráfico deve refletir esses pontos, mostrando a curva passando pelas raízes, atingindo o mínimo e subindo nos extremos.

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