Esboce o gráfico de cada uma das funções definidas abaixo.
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Esboce o gráfico de cada uma das funções definidas abaixo:
.
20a
Esboce o gráfico de cada uma das funções definidas abaixo:
Passo 1
Beleza, a gente vai trabalhar com o enunciado que pede para esboçar o gráfico da função
. Vamos usar conceitos de funções polinomiais, como identificar raízes, extremos, e comportamento da função para desenhar um gráfico legal. Vamos precisar entender um pouco de cálculo, tipo derivadas, para achar os pontos importantes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as raízes da função, ou seja, os valores de
onde
. Resolvendo
, podemos fatorar:
Então, as raízes são
(com multiplicidade 3) e
. Isso nos dá os pontos onde a função cruza o eixo
.
Passo 3
Agora, vamos descobrir os extremos da função, ou seja, onde ela tem máximos ou mínimos locais. Para isso, calculamos a primeira derivada de
:
Igualando a zero para achar os pontos críticos:
As soluções são
e
. Vamos investigar se são máximos ou mínimos.
Passo 4
Para saber se os pontos críticos são máximos ou mínimos, usamos a segunda derivada:
Avaliando em
:
Como a segunda derivada é zero, precisamos analisar a mudança de concavidade ou usar outras técnicas. Já em
:
Então,
é um ponto de mínimo local.
Passo 5
Vamos também analisar o comportamento da função para
indo para
e
. O termo de maior grau é
, que domina o comportamento:
- Conforme
, . - Conforme
, .
Isso significa que os ramos da função sobem para ambos os lados.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos resumir:
- Raízes em
e . - Mínimo local em
. - A função sobe para
. - A função cruza o eixo
em .
Resposta
Com base na análise, o gráfico da função
tem raízes em
e
, um mínimo local em
, e tende a
quando
vai para
. O esboço do gráfico deve refletir esses pontos, mostrando a curva passando pelas raízes, atingindo o mínimo e subindo nos extremos.
Exercícios relacionados
Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo:
, onde
.
Considere a função
.
19a
Considere a função . Encontre o domínio de
.
19a
Considere a função
Determine a área da superficie:
Calcule os seguintes limites: