Determine a area das superfícies .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a área das superfícies definidas por e . Aqui estamos trabalhando com geometria espacial, especificamente com cilindros. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a área lateral de um cilindro e também as áreas das bases superior e inferior.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma que estamos lidando. A equação representa um cilindro de raio 1 que se estende ao longo do eixo z. O intervalo nos diz que o cilindro vai do plano até , ou seja, tem altura 3.

Passo 3

Para encontrar a área total das superfícies desse cilindro, precisamos calcular duas partes: a área lateral (a parte curva do cilindro) e as áreas das duas bases (as tampas superior e inferior).

Passo 4

Vamos começar com a área lateral do cilindro. A fórmula para a área lateral de um cilindro é:
Á
onde é o raio e é a altura.

Passo 5

Sabemos que o raio é 1 (da equação ) e a altura é 3. Substituindo esses valores na fórmula:
Á

Passo 6

Agora, vamos calcular a área de uma das bases do cilindro. A fórmula para a área de um círculo é:
Áí

Passo 7

Com o raio , a área de uma base é:
Á

Passo 8

Como o cilindro tem duas bases (superior e inferior), a área total das bases é:
Á

Passo 9

Finalmente, somamos a área lateral com a área das bases para obter a área total das superfícies do cilindro:
ÁÁÁ

Resposta

A área total das superfícies é unidades quadradas.

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