Determine a area das superfícies
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a área das superfícies definidas por
e
. Aqui estamos trabalhando com geometria espacial, especificamente com cilindros. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a área lateral de um cilindro e também as áreas das bases superior e inferior.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma que estamos lidando. A equação
representa um cilindro de raio 1 que se estende ao longo do eixo z. O intervalo
nos diz que o cilindro vai do plano
até
, ou seja, tem altura 3.
Passo 3
Para encontrar a área total das superfícies desse cilindro, precisamos calcular duas partes: a área lateral (a parte curva do cilindro) e as áreas das duas bases (as tampas superior e inferior).
Passo 4
Vamos começar com a área lateral do cilindro. A fórmula para a área lateral de um cilindro é:
onde
é o raio e
é a altura.
Passo 5
Sabemos que o raio
é 1 (da equação
) e a altura
é 3. Substituindo esses valores na fórmula:
Passo 6
Agora, vamos calcular a área de uma das bases do cilindro. A fórmula para a área de um círculo é:
Passo 7
Com o raio
, a área de uma base é:
Passo 8
Como o cilindro tem duas bases (superior e inferior), a área total das bases é:
Passo 9
Finalmente, somamos a área lateral com a área das bases para obter a área total das superfícies do cilindro:
Resposta
A área total das superfícies é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Determine a area das superfícies Parte do plano
limitada pela superfície cilíndrica
.
Esboce o gráfico do conjunto.
Seja
: Determine
e
para que
seja conservativo.
Determine se a sequência
onde
é alternante. Mostre que ela converge para zero.