Determine se a sequência definida por é crescente, decrescente ou não monotônica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por . Nosso objetivo é descobrir se essa sequência está crescendo, diminuindo ou se comporta de forma não monótona. Para isso, vamos usar conceitos de funções e sequências, comparando termos consecutivos para ver como eles mudam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser crescente ou decrescente:
  • Crescente: Cada termo é maior que o anterior, ou seja, .
  • Decrescente: Cada termo é menor que o anterior, ou seja, .
Então, para identificar o comportamento da sequência, vamos comparar com .

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, vamos comparar com :

Passo 4

Para comparar e , podemos verificar a diferença entre eles:
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, encontramos um denominador comum, que é :
Explicando: estamos encontrando a diferença entre os termos para ver se é positiva ou negativa.

Passo 5

Agora, vamos expandir os termos no numerador:
Substituindo na expressão anterior:

Passo 6

Observamos que o denominador é sempre positivo para todo . E o numerador é 1, que também é positivo. Portanto:
Isso significa que para todo .

Resposta

A sequência é crescente, já que cada termo é maior que o anterior.

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