Determine se a sequência
definida por
é crescente, decrescente ou não monotônica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por
. Nosso objetivo é descobrir se essa sequência está crescendo, diminuindo ou se comporta de forma não monótona. Para isso, vamos usar conceitos de funções e sequências, comparando termos consecutivos para ver como eles mudam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser crescente ou decrescente:
- Crescente: Cada termo é maior que o anterior, ou seja,
. - Decrescente: Cada termo é menor que o anterior, ou seja,
.
Então, para identificar o comportamento da sequência, vamos comparar
com
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, vamos comparar
com
:
Passo 4
Para comparar
e
, podemos verificar a diferença entre eles:
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, encontramos um denominador comum, que é
:
Explicando: estamos encontrando a diferença entre os termos para ver se é positiva ou negativa.
Passo 5
Agora, vamos expandir os termos no numerador:
Substituindo na expressão anterior:
Passo 6
Observamos que o denominador
é sempre positivo para todo
. E o numerador é 1, que também é positivo. Portanto:
Isso significa que
para todo
.
Resposta
A sequência
é crescente, já que cada termo é maior que o anterior.
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.
Determine o momento de inércia e o centro de massa da superfície homogênea, de massa
, de equação
, com
, em torno do eixo
.
e
onde
.
Prove que
.
Determine a area das superfícies
.