Determine a área da superfício: a parte da superficie que está acima do triângulo com vértices ;
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede: precisamos calcular a área da parte da superfície que está acima de um triângulo com vértices nos pontos , e . Para isso, vamos usar cálculo multivariável, mais especificamente integrais duplas, que nos ajudam a encontrar áreas de superfícies sobre regiões no plano .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região no plano sobre a qual vamos calcular a área. O triângulo tem vértices em , e . Isso significa que varia de 0 a 1. Para cada valor de , vai de 0 até (já que a linha que une a tem a equação ).
Passo 3
A fórmula para calcular a área de uma superfície sobre uma região no plano é:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e depois integrar essa expressão sobre a região .
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de :
Essas derivadas representam as inclinações da superfície nas direções e .
Passo 5
Substituímos as derivadas na fórmula da área:
Passo 6
Agora, configuramos a integral dupla com os limites de integração que identificamos no Passo 2:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral se simplifica para:
Passo 7
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
Deixe . Então, a derivada de em relação a é:
Substituindo na integral:
Agora, integramos :
Voltando para a variável original :
Calculando os valores:
Subtraindo:
Dividindo por 24:
Resposta
A área da parte da superfície é aproximadamente unidades de área.