Determine a área da superfício: a parte da superficie z - 1 + 3 x + 2 y^2 que está acima do triângulo com vértices (0,0), (0,1), (2,1);

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede: precisamos calcular a área da parte da superfície que está acima de um triângulo com vértices nos pontos , e . Para isso, vamos usar cálculo multivariável, mais especificamente integrais duplas, que nos ajudam a encontrar áreas de superfícies sobre regiões no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região no plano sobre a qual vamos calcular a área. O triângulo tem vértices em , e . Isso significa que varia de 0 a 1. Para cada valor de , vai de 0 até (já que a linha que une a tem a equação ).

Passo 3

A fórmula para calcular a área de uma superfície sobre uma região no plano é:
Á
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e depois integrar essa expressão sobre a região .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de :
Essas derivadas representam as inclinações da superfície nas direções e .

Passo 5

Substituímos as derivadas na fórmula da área:
Á

Passo 6

Agora, configuramos a integral dupla com os limites de integração que identificamos no Passo 2:
Á
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral se simplifica para:
Á

Passo 7

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
Deixe . Então, a derivada de em relação a é:
Substituindo na integral:
Á
Agora, integramos :
Voltando para a variável original :
Á
Calculando os valores:
Subtraindo:
Dividindo por 24:

Resposta

A área da parte da superfície é aproximadamente unidades de área.

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