Exercício 65. Determine o dominio e as possiveis raizes para as funções.
i) f(x) = log3(4x^2 - 44x + 113)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício juntos. A questão pede para determinar o domínio e as possíveis raízes da função . Aqui, estamos lidando com funções logarítmicas e quadráticas. Para resolver, vamos precisar entender como definir o domínio de uma função logarítmica e como encontrar as raízes de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio de uma função logarítmica exige que o argumento seja positivo, ou seja, .
Então, para a nossa função:

Passo 3

Agora, vamos resolver a desigualdade quadrática:
Primeiro, encontramos as raízes da equação quadrática associada:
Usando a fórmula de Bhaskara:
As raízes são e .

Passo 4

Como o coeficiente de é positivo (4), a parábola abre para cima. Isso significa que a expressão quadrática será positiva fora das raízes. Portanto, o domínio é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de que fazem .
Temos:
Lembrando que , então:
Dividindo toda a equação por 4 para simplificar:
Resolvendo essa equação quadrática:
Portanto, as raízes são:

Resposta

O domínio da função é ou e as possíveis raízes são e .

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