Determine a área de
dentro do cilindro
.
Passo 1
Vamos resumir o que a gente precisa fazer: queremos encontrar a área da superfície definida pela equação
que está dentro do cilindro
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais para calcular a área de uma parte de um plano limitada por uma circunferência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície que estamos lidando. A equação
representa um plano no espaço tridimensional. Queremos saber qual é a área desse plano que está dentro do cilindro
, que é uma circunferência com raio
no plano
.
Passo 3
Para calcular a área da superfície no plano, precisamos encontrar a expressão para a área diferencial
no plano
. Podemos reorganizar a equação do plano para resolver
em função de
e
:
Passo 4
Agora, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 5
A área diferencial
no plano pode ser encontrada usando a fórmula:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 6
A área total
é a integral dupla da área diferencial sobre a região delimitada pelo cilindro
:
Passo 7
A região de integração é um círculo com raio
, então a área desse círculo é:
Passo 8
Multiplicamos a área do círculo pelo fator
para obter a área da superfície no plano:
Resposta
A área da superfície dentro do cilindro é
unidades de área.