Determine a área de 2x + 3y + 6z = 9 dentro do cilindro x^2 + y^2 = 7.

Passo 1

Vamos resumir o que a gente precisa fazer: queremos encontrar a área da superfície definida pela equação que está dentro do cilindro . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais para calcular a área de uma parte de um plano limitada por uma circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície que estamos lidando. A equação representa um plano no espaço tridimensional. Queremos saber qual é a área desse plano que está dentro do cilindro , que é uma circunferência com raio no plano .

Passo 3

Para calcular a área da superfície no plano, precisamos encontrar a expressão para a área diferencial no plano . Podemos reorganizar a equação do plano para resolver em função de e :

Passo 4

Agora, calculamos as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 5

A área diferencial no plano pode ser encontrada usando a fórmula:
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 6

A área total é a integral dupla da área diferencial sobre a região delimitada pelo cilindro :

Passo 7

A região de integração é um círculo com raio , então a área desse círculo é:
Áí

Passo 8

Multiplicamos a área do círculo pelo fator para obter a área da superfície no plano:

Resposta

A área da superfície dentro do cilindro é unidades de área.

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