Encontre o valor de
integral triplaE 4 x y d V
em que E é a região limitada por z=2 x^2+2 y^2-7 e z=1.
Dica: Utilize coordenadas cilíndricas

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa encontrar o valor da integral tripla , onde é a região limitada pelas superfícies e . Vamos utilizar coordenadas cilíndricas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nessa mudança, usamos as relações:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando, 4xy = 4(r costheta)(r sintheta) = 4r^2 costheta sintheta , em coordenadas cilíndricas:

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. A região 2r^2 - 7 <= z <= 1 é limitada por 2r^2 <= 8 implies r^2 <= 4 implies r <= 2 e . Então, para :
Resolvendo :
Portanto, varia de 0 a 2 e varia de 0 a .

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral triplaE 4xy , dV = integral0^2pi integral0^2 integral2r^2-7^1 4r^2 costheta sintheta cdot r , dz , dr , dtheta
Simplificando:
= integral0^2pi integral0^2 4r^3 costheta sintheta (1 - (2r^2 - 7)) dr , dtheta
= integral0^2pi integral0^2 4r^3 costheta sintheta (8 - 2r^2) dr , dtheta

Passo 6

Vamos expandir o integrando:
4r^3 costheta sintheta (8 - 2r^2) = 32r^3 costheta sintheta - 8r^5 costheta sintheta
Portanto, a integral fica:
integral0^2pi integral0^2 (32r^3 costheta sintheta - 8r^5 costheta sintheta) dr , dtheta

Passo 7

Vamos integrar em relação a integral0^2 32r^3 dr = 32 [r^44]0^2 = 32 (164) = 128 primeiro:
integral0^2 8r^5 dr = 8 [r^66]0^2 = 8 (646) = 5126 = 2563
integral0^2pi (128 costheta sintheta - 2563 costheta sintheta) dtheta
Então, a integral fica:
= integral0^2pi (3843 - 2563) costheta sintheta , dtheta
= integral0^2pi 1283 costheta sintheta , dtheta

Passo 8

Agora, vamos integrar em relação a integral0^2pi costheta sintheta , dtheta :
integral costheta sintheta , dtheta = 12 sin^2theta
Sabemos que:
[12 sin^2theta]0^2pi = 12 (sin^2(2pi) - sin^2(0)) = 0
Então:
Portanto, toda a integral resulta em zero.

Resposta

0

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