Encontre o valor de
em que
é a região limitada por
.
Dica: Utilize coordenadas cilíndricas
Dica: Utilize coordenadas cilíndricas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa encontrar o valor da integral tripla
, onde
é a região limitada pelas superfícies
e
. Vamos utilizar coordenadas cilíndricas para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nessa mudança, usamos as relações:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando,
, em coordenadas cilíndricas:
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração. A região
é limitada por
e
. Então, para
:
Resolvendo
:
Portanto,
varia de 0 a 2 e
varia de 0 a
.
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Simplificando:
Passo 6
Vamos expandir o integrando:
Portanto, a integral fica:
Passo 7
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar em relação a
:
Sabemos que:
Então:
Portanto, toda a integral resulta em zero.
Resposta
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