Encontre a equação do plano tangente a superfície
x^2 + 2xy + 2y^2 - z = 0
no ponto 1, 1, 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação do plano tangente a uma superfície dada pela função no ponto específico . Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo multivariável, especialmente sobre planos tangentes e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. Imagine que você tem uma superfície no espaço, como a casca de uma laranja. O plano tangente é como um “plano” que toca a superfície em apenas um ponto, sem “cortar” a superfície naquele ponto.

Passo 3

Para encontrar o plano tangente, precisamos calcular o gradiente da função que define a superfície. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é perpendicular à superfície naquele ponto.
Nossa função é:
Vamos calcular as derivadas parciais em relação a , e :

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto dado :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 5

Com o gradiente em mãos, podemos usar a equação do plano tangente, que é dada por:
Onde:
  • é o gradiente.
  • é um ponto genérico no plano.
  • é o ponto de tangência .
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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