Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação do plano tangente a uma superfície dada pela função no ponto específico . Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo multivariável, especialmente sobre planos tangentes e gradientes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. Imagine que você tem uma superfície no espaço, como a casca de uma laranja. O plano tangente é como um “plano” que toca a superfície em apenas um ponto, sem “cortar” a superfície naquele ponto.
Passo 3
Para encontrar o plano tangente, precisamos calcular o gradiente da função que define a superfície. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é perpendicular à superfície naquele ponto.
Nossa função é:
Vamos calcular as derivadas parciais em relação a , e :
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto dado :
Então, o gradiente no ponto é:
Passo 5
Com o gradiente em mãos, podemos usar a equação do plano tangente, que é dada por:
Onde:
é o gradiente.
é um ponto genérico no plano.
é o ponto de tangência .
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto é: