Um resultado bastante utilizado é que, para
grande o bastante,
é muito maior que
(o crescimento exponencial é muito mais rápido que o polinomial), e
é muito menor que
(o crescimento logarítmico é muito mais lento que o de qualquer raiz). Prove isso, garantindo que:
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre como diferentes tipos de funções crescem quando
fica bem grande. O conteúdo aqui é sobre limites e o comportamento de funções exponenciais, polinomiais, logarítmicas e raízes. Para resolver, a gente vai usar o Teorema de L’Hospital, que ajuda a calcular limites quando a gente tem uma forma indeterminada, tipo
ou
.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): mostrar que
.
Aqui, a gente tem uma função exponencial
no numerador e um polinômio
no denominador. Queremos ver o que acontece com essa fração quando
cresce sem parar.
Passo 3
Primeiro, observamos que tanto
quanto
tendem ao infinito quando
vai para
. Então, a expressão
está na forma
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que podemos aplicar o Teorema de L’Hospital.
Passo 4
O Teorema de L’Hospital diz que se
está na forma
ou
, então esse limite é igual a
, desde que esse último limite exista.
Passo 5
Aplicando isso à nossa expressão
, vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Então, temos:
Passo 6
Perceba que ainda temos
, então podemos aplicar o Teorema de L’Hospital novamente. Vamos repetir esse processo até que o denominador não dependa mais de
.
Após
vezes, vamos ter:
Como
cresce sem limites e
é uma constante, o limite é
.
Passo 7
Agora vamos para a parte (b): mostrar que
.
Aqui, temos uma função logarítmica
no numerador e uma raiz
no denominador. Queremos ver o comportamento dessa fra�o quando
cresce muito.
Passo 8
Novamente, tanto
quanto
tendem ao infinito quando
vai para
. Então, a expressão
está na forma
, permitindo a aplicação do Teorema de L’Hospital.
Passo 9
Vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Então, temos:
Passo 10
Agora, percebemos que
cresce sem limites quando
vai para
, e
é uma constante. Então,
tende a zero.
Resposta
(a)
(b)
Exercícios relacionados
A medida do lado de um quadrado varia com o tempo. No instante em que o lado mede
a taxa de variação da área é de
. Qual é a taxa de variação do lado em relação ao tempo neste instante?
Utilizando regras de derivação, calcule as seguintes derivadas:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:
(a)
(b)
©
(d)
(e) .
(f) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Determine as assíntotas das funções abaixo, caso existam:
(a)
(b)
©
(d) .
(a)
(b)
©
(d)