Um resultado bastante utilizado é que, para grande o bastante, é muito maior que (o crescimento exponencial é muito mais rápido que o polinomial), e é muito menor que (o crescimento logarítmico é muito mais lento que o de qualquer raiz). Prove isso, garantindo que:
(a)
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre como diferentes tipos de funções crescem quando fica bem grande. O conteúdo aqui é sobre limites e o comportamento de funções exponenciais, polinomiais, logarítmicas e raízes. Para resolver, a gente vai usar o Teorema de L’Hospital, que ajuda a calcular limites quando a gente tem uma forma indeterminada, tipo ou .

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): mostrar que .
Aqui, a gente tem uma função exponencial no numerador e um polinômio no denominador. Queremos ver o que acontece com essa fração quando cresce sem parar.

Passo 3

Primeiro, observamos que tanto quanto tendem ao infinito quando vai para . Então, a expressão está na forma , que é uma forma indeterminada. Isso significa que podemos aplicar o Teorema de L’Hospital.

Passo 4

O Teorema de L’Hospital diz que se está na forma ou , então esse limite é igual a , desde que esse último limite exista.

Passo 5

Aplicando isso à nossa expressão , vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Então, temos:

Passo 6

Perceba que ainda temos , então podemos aplicar o Teorema de L’Hospital novamente. Vamos repetir esse processo até que o denominador não dependa mais de .
Após vezes, vamos ter:
Como cresce sem limites e é uma constante, o limite é .

Passo 7

Agora vamos para a parte (b): mostrar que .
Aqui, temos uma função logarítmica no numerador e uma raiz no denominador. Queremos ver o comportamento dessa fraç��o quando cresce muito.

Passo 8

Novamente, tanto quanto tendem ao infinito quando vai para . Então, a expressão está na forma , permitindo a aplicação do Teorema de L’Hospital.

Passo 9

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Então, temos:

Passo 10

Agora, percebemos que cresce sem limites quando vai para , e é uma constante. Então, tende a zero.

Resposta

(a)
(b)

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A medida do lado de um quadrado varia com o tempo. No instante em que o lado mede a taxa de variação da área é de . Qual é a taxa de variação do lado em relação ao tempo neste instante?
Utilizando regras de derivação, calcule as seguintes derivadas:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n) .
Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:
(a)
(b)
©
(d)
(e) .
(f) .
Determine as assíntotas das funções abaixo, caso existam:
(a)
(b)
©
(d) .