Um resultado bastante utilizado é que, para t grande o bastante, e^t é muito maior que t^n, forall n in N (o crescimento exponencial é muito mais rápido que o polinomial), e ln t é muito menor que raiz[n]t (o crescimento logarítmico é muito mais lento que o de qualquer raiz). Prove isso, garantindo que:
(a) lim t +infty e^tt^n=+infty
(b) lim t +infty ln traiz[n]t=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre como diferentes tipos de funções crescem quando fica bem grande. O conteúdo aqui é sobre limites e o comportamento de funções exponenciais, polinomiais, logarítmicas e raízes. Para resolver, a gente vai usar o Teorema de L’Hospital, que ajuda a calcular limites quando a gente tem uma forma indeterminada, tipo ou .

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): mostrar que .
Aqui, a gente tem uma função exponencial no numerador e um polinômio no denominador. Queremos ver o que acontece com essa fração quando cresce sem parar.

Passo 3

Primeiro, observamos que tanto quanto tendem ao infinito quando vai para . Então, a expressão está na forma , que é uma forma indeterminada. Isso significa que podemos aplicar o Teorema de L’Hospital.

Passo 4

O Teorema de L’Hospital diz que se está na forma ou , então esse limite é igual a , desde que esse último limite exista.

Passo 5

Aplicando isso à nossa expressão lim t +infty e^tt^n = lim t +infty e^tn t^n-1 , vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Então, temos:

Passo 6

Perceba que ainda temos lim t +infty e^tn! , então podemos aplicar o Teorema de L’Hospital novamente. Vamos repetir esse processo até que o denominador não dependa mais de .
Após vezes, vamos ter:
Como cresce sem limites e é uma constante, o limite é .

Passo 7

Agora vamos para a parte (b): mostrar que .
Aqui, temos uma função logarítmica no numerador e uma raiz no denominador. Queremos ver o comportamento dessa fraç��o quando cresce muito.

Passo 8

Novamente, tanto quanto tendem ao infinito quando vai para . Então, a expressão está na forma , permitindo a aplicação do Teorema de L’Hospital.

Passo 9

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada de lim t +infty ln tt^1/n = lim t +infty 1t1n t^1/n - 1 = lim t +infty nt^1/n em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Então, temos:

Passo 10

Agora, percebemos que cresce sem limites quando vai para , e é uma constante. Então, tende a zero.

Resposta

(a)
(b)

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