Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas (quando existirem) das funções abaixo. f(x) = (x^2 + 1) / x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas da função . Para isso, vamos precisar entender o que são essas assíntotas e como identificá-las em uma função racional.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre as assíntotas verticais. Elas acontecem nos valores de que fazem o denominador da função ser zero, desde que o numerador não seja zero nesse ponto. Então, vamos encontrar onde o denominador é igual a zero:
Nesse caso, quando , o denominador é zero, e o numerador é , que não é zero. Portanto, temos uma assíntota vertical em .

Passo 3

Agora, vamos verificar as assíntotas horizontais. Essas assíntotas existem quando o grau do numerador é igual ao grau do denominador ou menor. Para a função :
  • Grau do numerador: 2
  • Grau do denominador: 1
Aqui, o grau do numerador é maior que o do denominador. Quando isso acontece, não há assíntota horizontal.

Passo 4

Por último, vamos encontrar as assíntotas oblíquas. Essas assíntotas aparecem quando o grau do numerador é exatamente um a mais que o grau do denominador. No nosso caso:
  • Grau do numerador: 2
  • Grau do denominador: 1
Como , temos uma assíntota oblíqua. Para encontrar a equação dessa assíntota, vamos dividir por :
À medida que vai para infinito, a fração tende a zero. Portanto, a assíntota oblíqua é:

Resposta

A função possui:
  • Assíntota vertical em
  • Assíntota oblíqua com a equação
  • Nenhuma assíntota horizontal

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