Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas (quando existirem) das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas da função
. Para isso, vamos precisar entender o que são essas assíntotas e como identificá-las em uma função racional.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre as assíntotas verticais. Elas acontecem nos valores de
que fazem o denominador da função ser zero, desde que o numerador não seja zero nesse ponto. Então, vamos encontrar onde o denominador
é igual a zero:
Nesse caso, quando
, o denominador é zero, e o numerador é
, que não é zero. Portanto, temos uma assíntota vertical em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar as assíntotas horizontais. Essas assíntotas existem quando o grau do numerador é igual ao grau do denominador ou menor. Para a função
:
- Grau do numerador: 2
- Grau do denominador: 1
Aqui, o grau do numerador é maior que o do denominador. Quando isso acontece, não há assíntota horizontal.
Passo 4
Por último, vamos encontrar as assíntotas oblíquas. Essas assíntotas aparecem quando o grau do numerador é exatamente um a mais que o grau do denominador. No nosso caso:
- Grau do numerador: 2
- Grau do denominador: 1
Como
, temos uma assíntota oblíqua. Para encontrar a equação dessa assíntota, vamos dividir
por
:
À medida que
vai para infinito, a fração
tende a zero. Portanto, a assíntota oblíqua é:
Resposta
A função
possui:
- Assíntota vertical em
- Assíntota oblíqua com a equação
- Nenhuma assíntota horizontal