Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas (quando existirem) das funções abaixo. f(x) = e^(-x) - e^(-2*x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas da função . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites e comportamento de funções, mais especificamente sobre assíntotas. Para resolver, vamos precisar entender o que são cada tipo de assíntota e como calcular os limites da função quando tende ao infinito ou a pontos que possam causar descontinuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre assíntotas verticais. Essas ocorrem em pontos onde a função não está definida e tende ao infinito. Geralmente, encontramos assíntotas verticais em funções racionais nos valores que anulam o denominador.
No caso da nossa função , não há denominador, e as funções exponenciais estão sempre definidas para todo real. Portanto, não existem assíntotas verticais para essa função.

Passo 3

Agora, vamos para as assíntotas horizontais. Essas ocorrem quando a função tende a um valor constante à medida que vai para ou .
Vamos calcular os limites:
  1. Para :
    Portanto:
  2. Para :
    Mas precisamos ver qual termo cresce mais rápido. Como , ele cresce mais rápido que .
    Portanto:
    Isso é uma forma indeterminada, mas analisando os termos, percebemos que domina e:
    Então, a função tende a quando vai para , o que não caracteriza uma assíntota horizontal nesse sentido.
Então, a única assíntota horizontal é para .

Passo 4

Por fim, vamos verificar as assíntotas oblíquas. Essas ocorrem quando, para , a função se aproxima de uma reta da forma .
No nosso caso, já vimos que para , tende a 0, que é uma assíntota horizontal, e para , a função tende a , mas não de forma linear como uma reta. Portanto, não existem assíntotas oblíquas para essa função.

Resposta

A função não possui assíntotas verticais nem oblíquas. Ela possui uma única assíntota horizontal, que é a reta .

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