Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas (quando existirem) das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas da função
. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites e comportamento de funções, mais especificamente sobre assíntotas. Para resolver, vamos precisar entender o que são cada tipo de assíntota e como calcular os limites da função quando
tende ao infinito ou a pontos que possam causar descontinuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre assíntotas verticais. Essas ocorrem em pontos onde a função não está definida e tende ao infinito. Geralmente, encontramos assíntotas verticais em funções racionais nos valores que anulam o denominador.
No caso da nossa função
, não há denominador, e as funções exponenciais estão sempre definidas para todo
real. Portanto, não existem assíntotas verticais para essa função.
Passo 3
Agora, vamos para as assíntotas horizontais. Essas ocorrem quando a função tende a um valor constante à medida que
vai para
ou
.
Vamos calcular os limites:
-
Para
: Portanto: -
Para
: Mas precisamos ver qual termo cresce mais rápido. Como, ele cresce mais rápido que .
Portanto:Isso é uma forma indeterminada, mas analisando os termos, percebemos quedomina e: Então, a função tende aquando vai para , o que não caracteriza uma assíntota horizontal nesse sentido.
Então, a única assíntota horizontal é
para
.
Passo 4
Por fim, vamos verificar as assíntotas oblíquas. Essas ocorrem quando, para
, a função se aproxima de uma reta da forma
.
No nosso caso, já vimos que para
,
tende a 0, que é uma assíntota horizontal, e para
, a função tende a
, mas não de forma linear como uma reta. Portanto, não existem assíntotas oblíquas para essa função.
Resposta
A função
não possui assíntotas verticais nem oblíquas. Ela possui uma única assíntota horizontal, que é a reta
.