Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas (quando existirem) das funções abaixo. f(x) = x ln x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas da função . Isso está dentro do estudo de funções e seus comportamentos assintóticos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são cada tipo de assíntota e como identificá-las em uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre assíntotas verticais. Essas assíntotas acontecem em valores de onde a função não está definida e, ao se aproximar desse valor, a função tende a infinito ou menos infinito. No caso da função , o logaritmo natural só está definido para . Vamos analisar o comportamento quando se aproxima de 0 por valores positivos.

Passo 3

Quando se aproxima de 0 por valores positivos, tende a e tende a 0. Então, temos uma forma indeterminada do tipo . Vamos ver o limite:
Podemos reescrever isso como:
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital, derivando o numerador e o denominador:
Então, não há assíntota vertical em .

Passo 4

Agora, vamos procurar por assíntotas horizontais. Essas ocorrem quando tende a ou e a função se aproxima de um valor constante. No nosso caso, como , vamos analisar o limite quando vai para :
Sabemos que cresce sem limites quando vai para , e multiplicar por apenas faz a função crescer ainda mais. Portanto, o limite é , o que significa que não há assíntota horizontal.

Passo 5

Finalmente, vamos verificar se existe alguma assíntota oblíqua. Esse tipo de assíntota ocorre quando o limite de menos uma reta linear de tende a zero, ou seja, quando se comporta como para tendendo a .
Vamos tentar encontrar e :
Como o limite de não é um número finito, não existe uma assíntota oblíqua.

Resposta

A função não possui assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas.

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