Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas (quando existirem) das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas da função
. Isso está dentro do estudo de funções e seus comportamentos assintóticos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são cada tipo de assíntota e como identificá-las em uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre assíntotas verticais. Essas assíntotas acontecem em valores de
onde a função não está definida e, ao se aproximar desse valor, a função tende a infinito ou menos infinito. No caso da função
, o logaritmo natural
só está definido para
. Vamos analisar o comportamento quando
se aproxima de 0 por valores positivos.
Passo 3
Quando
se aproxima de 0 por valores positivos,
tende a
e
tende a 0. Então, temos uma forma indeterminada do tipo
. Vamos ver o limite:
Podemos reescrever isso como:
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital, derivando o numerador e o denominador:
Então, não há assíntota vertical em
.
Passo 4
Agora, vamos procurar por assíntotas horizontais. Essas ocorrem quando
tende a
ou
e a função se aproxima de um valor constante. No nosso caso, como
, vamos analisar o limite quando
vai para
:
Sabemos que
cresce sem limites quando
vai para
, e multiplicar por
apenas faz a função crescer ainda mais. Portanto, o limite é
, o que significa que não há assíntota horizontal.
Passo 5
Finalmente, vamos verificar se existe alguma assíntota oblíqua. Esse tipo de assíntota ocorre quando o limite de
menos uma reta linear de
tende a zero, ou seja, quando
se comporta como
para
tendendo a
.
Vamos tentar encontrar
e
:
Como o limite de
não é um número finito, não existe uma assíntota oblíqua.
Resposta
A função
não possui assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas.