Quais transformações sofreu a função f(x) = x^2, para obtermos g(x) = 3(x + 1)^2 - 3. Esboce o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa descobrir quais transformações a função passou para virar . Vamos usar conceitos de transformações de funções quadráticas, como translação, dilatação e reflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função original . Essa é uma parábola que abre para cima, com vértice na origem (0,0).

Passo 3

Agora, na função , temos alguns elementos a mais. Vamos identificar cada um deles:
  1. dentro do parêntese: Isso indica uma translação horizontal. Como está , a parábola se desloca 1 unidade para a esquerda.
  2. O 3 multiplicando o parêntese: Isso é uma dilatação vertical. Multiplicar por 3 faz com que a parábola fique mais “esticada” verticalmente, ou seja, mais fechada.
  3. O -3 no final: Isso representa uma translação vertical. Subtrair 3 move a parábola 3 unidades para baixo.

Passo 4

Vamos resumir as transformações:
  • Translação Horizontal: 1 unidade para a esquerda.
  • Dilatação Vertical: Fator de 3 (parábola mais fechada).
  • Translaç��o Vertical: 3 unidades para baixo.

Passo 5

Agora, para esboçar o gráfico de , vamos aplicar essas transformações passo a passo na parábola :
  1. Mover 1 unidade à esquerda: O vértice passa de (0,0) para (-1,0).
  2. Dilatar verticalmente por 3: A parábola fica mais fechada, ou seja, cresce mais rápido.
  3. Mover 3 unidades para baixo: O vértice agora fica em (-1, -3).

Resposta

A função passou por três transformações para virar :
  1. Translação horizontal de 1 unidade para a esquerda.
  2. Dilatação vertical por um fator de 3.
  3. Translação vertical de 3 unidades para baixo.
O gráfico de é uma parábola com vértice em (-1, -3), aberta para cima e mais fechada que a parábola original.

Gráfico

Gráfico de g(x) = 3(x+1)^2 - 3

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