Determine a autocorrelação para a portadora modulada abaixo, considerando que
e
. Qual a potência da portadora?
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que encontrar a autocorrelação da portadora modulada que é dada por:
Aqui,
e
. Nosso objetivo é calcular a autocorrelação dessa portadora e descobrir a potência da portadora.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é autocorrelação. Autocorrelação mede a similaridade de um sinal com ele mesmo em diferentes instantes de tempo. Matematicamente, para um sinal
, a autocorrelação
é dada por:
No nosso caso,
é a combinação dos sinais
e
modulados pela portadora.
Passo 3
Vamos expandir a expressão da autocorrelação para
:
Isso vai dar vários termos, mas vamos simplificar usando propriedades de sinais senoidais e assumindo que os sinais
e
são independentes e estacionários.
Passo 4
Aplicando as propriedades de multiplicação de cossenos e senos, e sabendo que
, conseguimos simplificar a expressão para:
Aqui, usamos a identidade trigonométrica
e similar para os termos com seno.
Passo 5
Substituindo
e
pelos valores fornecidos:
Fatorando
:
Passo 6
Agora, para encontrar a potência da portadora, precisamos avaliar a autocorrelação no instante
:
A potência é igual ao valor da autocorrelação em
.
Resposta
A potência da portadora é igual a 1.