Determine a autocorrelação para a portadora modulada abaixo, considerando que RB(tau)= cos (wM tau) e RD(tau)=cos (wN tau). Qual a potência da portadora?
s(t)Q U A M=b(t) cos (wc t+phi)+d(t) sen(wc t+phi)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que encontrar a autocorrelação da portadora modulada que é dada por:
s(t)QUAM = b(t) cos (wc t + phi) + d(t) sin(wc t + phi)
Aqui, RB(tau) = cos (wM tau) e RD(tau) = cos (wN tau). Nosso objetivo é calcular a autocorrelação dessa portadora e descobrir a potência da portadora.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é autocorrelação. Autocorrelação mede a similaridade de um sinal com ele mesmo em diferentes instantes de tempo. Matematicamente, para um sinal s(t), a autocorrelação Rs(tau) é dada por:
Rs(tau) = E[s(t) s(t+tau)]
No nosso caso, s(t)QUAM é a combinação dos sinais b(t) e d(t) modulados pela portadora.

Passo 3

Vamos expandir a expressão da autocorrelação para s(t)QUAM:
Rs(tau) = E[ ( b(t) cos(wc t + phi) + d(t) sin(wc t + phi) ) ( b(t+tau) cos(wc (t+tau) + phi) + d(t+tau) sin(wc (t+tau) + phi) ) ]
Isso vai dar vários termos, mas vamos simplificar usando propriedades de sinais senoidais e assumindo que os sinais b(t) e d(t) são independentes e estacionários.

Passo 4

Aplicando as propriedades de multiplicação de cossenos e senos, e sabendo que E[b(t)d(t)] = 0, conseguimos simplificar a expressão para:
Rs(tau) = 12 [ RB(tau) cos(wc tau) + RD(tau) cos(wc tau) ]
Aqui, usamos a identidade trigonométrica cos A cos B = 12[cos(A+B) + cos(A-B)] e similar para os termos com seno.

Passo 5

Substituindo RB(tau) e RD(tau) pelos valores fornecidos:
Rs(tau) = 12 [ cos(wM tau) cos(wc tau) + cos(wN tau) cos(wc tau) ]
Fatorando cos(wc tau):
Rs(tau) = 12 cos(wc tau) [ cos(wM tau) + cos(wN tau) ]

Passo 6

Agora, para encontrar a potência da portadora, precisamos avaliar a autocorrelação no instante tau = 0:
Rs(0) = 12 cos(0) [ cos(0) + cos(0) ] = 12 times 1 times (1 + 1) = 12 times 2 = 1
A potência é igual ao valor da autocorrelação em tau = 0.

Resposta

A potência da portadora é igual a 1.

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