Determine os autolvalores e as bases para os auto-espaços das matrizes abaixo: B=(ccc5 & 0 & 1 1 & 1 & 0 -7 & 1 & 0)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema pede. A gente precisa encontrar os autovalores e as bases para os autoespaços da matriz 5 & 0 & 1 1 & 1 & 0 -7 & 1 & 0 . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como o polinômio característico e os espaços próprios.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Eles são os valores de det(B - lambda I) = 0 que satisfazem a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade de mesma dimensão que .

Passo 3

Vamos montar a matriz B - lambda I = 5 - lambda & 0 & 1 1 & 1 - lambda & 0 -7 & 1 & -lambda :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

Calculando o determinante:
det(B - lambda I) = (5 - lambda)[(1 - lambda)(-lambda) - (0)(1)] - 0 + 1[1 cdot 1 - (1 - lambda)(-7)]
Simplificando:
= (5 - lambda)[-lambda(1 - lambda)] + 1[1 + 7(1 - lambda)]
= (5 - lambda)(-lambda + lambda^2) + 1[1 + 7 - 7lambda]
= (5 - lambda)(lambda^2 - lambda) + (8 - 7lambda)
= 5lambda^2 - 5lambda - lambda^3 + lambda^2 + 8 - 7lambda
= -lambda^3 + 6lambda^2 - 12lambda + 8
Então, a equação característica é:
-lambda^3 + 6lambda^2 - 12lambda + 8 = 0
Podemos multiplicar toda a equação por -1 para facilitar:
lambda^3 - 6lambda^2 + 12lambda - 8 = 0

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação cúbica 2^3 - 6(2)^2 + 12(2) - 8 = 8 - 24 + 24 - 8 = 0 . Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o teorema das raízes racionais. Os possíveis divisores de 8 são lambda^3 - 6lambda^2 + 12lambda - 8 = (lambda - 2)(lambda^2 - 4lambda + 4) .
Testando lambda = 4 pm raiz16 - 162 = 42 = 2 :
Então, é uma raiz. Vamos fatorar essa raiz:
Agora, resolvemos :
Portanto, o único autovalor é com multiplicidade 3.

Passo 6

Agora que temos o autovalor B - 2I = 5 - 2 & 0 & 1 1 & 1 - 2 & 0 -7 & 1 & 0 - 2 = 3 & 0 & 1 1 & -1 & 0 -7 & 1 & -2 , vamos encontrar a base para o autoespaço correspondente. Para isso, resolvemos .
Primeiro, montamos :

Passo 7

Vamos resolver o sistema 3x1 + 0x2 + x3 = 0 x1 - x2 + 0x3 = 0 -7x1 + x2 - 2x3 = 0 :
-7x2 + x2 - 2(-3x2) = -6x2 + 6x2 = 0
Da segunda equação: x1 = x2 = t x3 = -3t .
Substituindo na primeira equação: => .
Agora, verificamos a terceira equação:
Tudo confere. Então, as soluções são:
Onde é um parâmetro livre.

Passo 8

Expressando a solução em termos de vetores:
x = t 1 1 -3
Portanto, a base para o autoespaço é o vetor 1 1 -3 .

Resposta

O único autovalor é 1 1 -3 e uma base para o autoespaço correspondente é .

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