Determine os autolvalores e as bases para os auto-espaços das matrizes abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema pede. A gente precisa encontrar os autovalores e as bases para os autoespaços da matriz . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como o polinômio característico e os espaços próprios.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Eles são os valores de que satisfazem a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade de mesma dimensão que .

Passo 3

Vamos montar a matriz :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

Calculando o determinante:
Simplificando:
Então, a equação característica é:
Podemos multiplicar toda a equação por -1 para facilitar:

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação cúbica . Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o teorema das raízes racionais. Os possíveis divisores de 8 são .
Testando :
Então, é uma raiz. Vamos fatorar essa raiz:
Agora, resolvemos :
Portanto, o único autovalor é com multiplicidade 3.

Passo 6

Agora que temos o autovalor , vamos encontrar a base para o autoespaço correspondente. Para isso, resolvemos .
Primeiro, montamos :

Passo 7

Vamos resolver o sistema :
Da segunda equação: .
Substituindo na primeira equação: => .
Agora, verificamos a terceira equação:
Tudo confere. Então, as soluções são:
Onde é um parâmetro livre.

Passo 8

Expressando a solução em termos de vetores:
Portanto, a base para o autoespaço é o vetor .

Resposta

O único autovalor é e uma base para o autoespaço correspondente é .

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e .
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.
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.