Determine os autolvalores e as bases para os auto-espaços das matrizes abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema pede. A gente precisa encontrar os autovalores e as bases para os autoespaços da matriz . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como o polinômio característico e os espaços próprios.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Eles são os valores de que satisfazem a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade de mesma dimensão que .
Passo 3
Vamos montar a matriz :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.
Passo 4
Calculando o determinante:
Simplificando:
Então, a equação característica é:
Podemos multiplicar toda a equação por -1 para facilitar:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação cúbica . Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o teorema das raízes racionais. Os possíveis divisores de 8 são .
Testando :
Então, é uma raiz. Vamos fatorar essa raiz:
Agora, resolvemos :
Portanto, o único autovalor é com multiplicidade 3.
Passo 6
Agora que temos o autovalor , vamos encontrar a base para o autoespaço correspondente. Para isso, resolvemos .
Primeiro, montamos :
Passo 7
Vamos resolver o sistema :
Da segunda equação: .
Substituindo na primeira equação: => .
Agora, verificamos a terceira equação:
Tudo confere. Então, as soluções são:
Onde é um parâmetro livre.
Passo 8
Expressando a solução em termos de vetores:
Portanto, a base para o autoespaço é o vetor .
Resposta
O único autovalor é e uma base para o autoespaço correspondente é .